§4. Иррациональные неравенства.

Как и при решении иррациональных уравнений, для того, чтобы избавиться от знака корня, приходится обе части неравенства возводить в квадрат. Это можно делать, только если обе части неотрицательны, (тогда знак неравенства сохраняется), или обе части неположительны (знак неравенства меняется). Главное отличие от уравнений заключается в том, что если левая и правая части имеют разные знаки, то неравенство всё равно может иметь решения; вследствие этого иногда приходится разбирать несколько случаев.

При решении неравенств вида и используются следующие равносильные преобразования:

(8)

(9)

Действительно, при решении неравенства рассуждаем так. Если , то неравенство выполняется на ОДЗ (т.к. всегда, когда определён), т.е.при то обе части неравенства неотрицательны и их можно возвести в квадрат. Условие , задающее ОДЗ, можно опустить, так как оно следует из неравенства .

Для неравенства , при решений нет (неотрицательное число не может быть меньше отрицательного). Если , то обе части неотрицательны и можем возвести их в квадрат. Добавляем также условие – ОДЗ исходного неравенства.

Пример 11. Решите неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

а)

б)

В этом случае условие было бы лишним, т.к. оно следует из неравенства .

в) Решений нет, т.к. левая часть неотрицательна на ОДЗ.

г) Неравенство выполнено на ОДЗ, т.к. левая часть неотрицательна. Получаем.

.

Ответ: а) ; б) ; в) нет решений; г)

Пример 12. Решите неравенства

а) ; б) .

Решение.

а)

.

б) .

Ответ: а) .

Замечание. Обратите внимание, что мы получили разные результаты из-за того, что левые части неравенства имеют разные области определения.

Пример 13. Решите неравенство .

Решение. Множитель неотрицателен на всей области определения. Разберём два случая.

1. . Тогда неравенство выполнено (знак множителя нас не интересует).

2. . Тогда для выполнения неравенства нужно, чтобы .

Итак,

Ответ: .

Пример 14. Решите неравенство .

Решение. Разберём два случая:

1. . Тогда при умножении обеих частей на знак неравенства сохраняются. Получаем

Далее решаем согласно переходу (8):

2. . Умножаем обе части на и меняем знак неравенства:

Заметим, что при и правая часть, и подкоренное выражение положительны. Поэтому при возведении в квадрат все дополнительные условия можно опустить.

Учитывая условие , во втором случае получаем .

Объединяем промежутки из двух случаев и получаем ответ.

Ответ: .

Пример 15. Решите неравенство

Решение. Перепишем неравенство в виде:

.

Обе части неотрицательны, поэтому можем возвести в квадрат. Добавляем также неравенство, задающее ОДЗ:

(10)

Для решения первого неравенства системы используем переход (8).

Учитывая второе условие системы (10), получаем:

Ответ:

§5. Уравнения и неравенства содержащие знак модуля.

Для решения уравнений или неравенств с модулем можно раскрывать модуль по определению ( при и при ). Для этого надо разобрать несколько случаев, а затем объединить полученные решения.

Пример 16. Решите уравнение:

Р

0

1

4

ешение. Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль. Это Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка. Определим знаки каждого из выражений под модулем на этих промежутках (например, можно из каждого промежутка выбрать точку и подставить). Получаем:

	+	+	-	+
x	-	+	+	+

В таблице записаны знаки выражений и на разных промежутках. Заметим, что второй и четвёртый промежутки можно объединить в один случай, так как модули там раскрываются одинаковым образом. Разбираем три случая:

1. . Тогда уравнение принимает вид

Учитывая условие , получаем .

2. Тогда получаем:

Учитывая условие , получаем, что решений нет.

3. . Тогда получаем

Значит, любые x из отрезка являются решениями.

Ответ: .

Замечание. Обратите внимание, что при решении обязательно надо учесть ограничения-неравенства , , , позволяющие раскрыть модули. Иначе можно приобрести лишние корни!

В некоторых случаях можно упростить решение и не раскрывать модуль по определению. При решении неравенств и уравнений с модулями используются следующие равносильные преобразования:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Пример 17. Решите неравенство:

Решение. Сначала используем (14):

Далее для первого неравенства совокупности применим (14), а для второго – (15):

Ответ: .

Пример 18. Решите неравенство .

Решение.

Ответ:

Пример 19. Решите уравнение

Решение. Обозначим . Тогда

Получаем

Возвращаемся к переменной :

Ответ: .