Алгебраические уравнения, неравенства и системы. Множества на координатной плоскости
§1. Рациональные и дробно-рациональные уравнения.
С помощью тождественных преобразований рациональные и дробно-рациональные уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям
(1)
Левая часть этого уравнения называется многочленом степени n. При n=2 получается квадратное уравнение, при n=3 – кубическое и т.д.
Уравнения первой и второй степени легко решаются. Для уравнений третьей и четвертой степени существуют общие формулы, которые не используются на практике ввиду их громоздкости. Для уравнений степени выше четвертой формул для решения не существует. Рассмотрим далее некоторые приемы решения уравнений степени выше второй.
Имеет
место следующая теорема:
если
в уравнении (1) коэффициенты а0,а1,…,аn
- целые а несократимая дробь p/q
является корнем этого уравнения, то
а0
р,
аn
q.
В частности (при q=1)
получаем: если
а0,
а1,…,аn
– целые числа, а целое число р является
решением уравнения (1), то а0
р.
То
есть, все целые корни являются делителями
свободного члена.
С помощью этого утверждения можно найти все рациональные корни уравнения (если они есть). Далее для решения используем теорему Безу: если число х0 является корнем уравнения (1), то его левая часть делится без остатка на (х-х0).
Пример 1. Решите уравнение 2х5+7х4-х3-21х2-8х+12=0.
Решение. Сначала пробуем подобрать целые корни уравнения. Они должны содержаться среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Подставляем по очереди в уравнение эти числа. Первым из списка подходит число х=-2. Значит, левая часть уравнения делится на х-(-2)=х+2. Выполняем деление уголком:
2х5+7х4-х3-21х2-8х+12 |x+2 _
2х5+4х4 |2х4+3х3-7х2-7х+6
3х4-х3
3х4+6х3
-7х3-21х2
-7х3-14х2
-7х2-8х
-7х2-14х
6х+12
6х+12
0
Остается решить уравнение 2х4+3х3-7х2-7х+6=0. Для него целые корни должны являться делителями 6. Кроме того, числа х=±1 и х=2 не могут являться корнями (мы убедились в этом на предыдущем шаге). Первым из списка подходит х=-2. Делим на (х+2):
2х4+3х3-7х2-7х+6|x+2 _
2х4+4х3 |2х3-х2-5х+3
-х3-7х2
-х3-2х2
-5х2-7х
-5х2-10х
3х+6
3х+6
0
Несложно
убедиться, что у уравнения 2х3-х2-5х+3=0
целых корней нет (числа х±1, х±3 корнями
не являются) Тогда попробуем найти
рациональные корни, не являющимися
целыми. Выбираем из списка 
,
.
Подходит х=
.
Тогда левая часть уравнения должна
делиться на (х -
).
Чтобы не связываться с дробями, удобнее
делить не на (х -
),
а на
2(х - ) = 2х - 3.
2х3-х2 - 5х+3|2x-3 _
2х3-3х2 |х2+х-1
2х2-5х
2х2-3х
-2х+3
-2х+3
0
Квадратное
уравнение х2+х-1=0
решаем по формуле и получаем 
.
Ответ: х=-2, х= , .
Замечание. Левая часть уравнения раскладывается на множители следующим образом:
(х+2)2(2х-3)(х+
)
(х+
).
В
таком случае говорят, что х=-2 является
корнем кратность два, а х=
,
х=
и х=
– корни кратности один.
Для некоторых уравнений специального вида применяются и другие методы решения.
Уравнение
(х-а)4+(x-b)4=с
после замены 
и раскрытия скобок приводится к
биквадратному уравнению.
Возвратным уравнением четвертой степени называют уравнение вида ax4+bx3+cx2+bx+a=0, где а≠0. Чтобы его решить, делим обе части на x2 и получаем
.
Замена 
приводит уравнение к квадратному (т.к
).
Аналогично решаются уравнения вида
ax4+bx3+cx2-bx+a=0
(замена 
).
Замена переменной помогает и в некоторых других случаях.
Пример
2.
Решите уравнение 
Решение. Запишем скобки в возрастающем порядке
и
перемножим первую с последней, а вторую
– с предпоследней. Получаем 
.
Делаем
замену 
(можно было также 
).
Получаем
Возвращаемся к переменной х.
Ответ:
.