Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный пОЛИтехнический университет

В.Д.Мазин

Датчики автоматических систем

СБОРНИК ЗАДАЧ

Санкт-Петербург

Издательство СПбГПУ

2007

Необходимые сведения из теории

Расчёт упругих элементов

Жёсткость стержня, нагружаемого в осевом направлении

,

где E – модуль упругости материала, s – площадь поперечного сечения, l – длина.

П рогиб консольной балки постоянного сечения, нагружаемой силой F (рис. 1), на расстоянии a от заделки

,

где J – момент инерции поперечного сечения, равный при прямоугольном поперечном сечении

.

Механическое напряжение балки на расстоянии a от заделки

,

где - момент сопротивления.

Радиальное _r и тангенциальное _t напряжения круглой мембраны толщиной h и радиуса a, на которую действует давление P, в точках, принадлежащих окружности с радиусом r

,

,

где при сокращённой форме записи индексов , s_ij и s_ii – коэффициенты податливости.

Расчёт погрешностей

1. Статические погрешности

В том случае, если погрешность вызвана рядом изменяющихся факторов, для её определения может быть использован векторно-аналитический метод.

Его суть заключается в представлении изменений физических величин элементами абстрактного векторного пространства. Под величинами в данном случае подразумеваются факторы, вызывающие погрешности измерительного средства (отклонения его конструктивных параметров от номинала, внешние влияющие факторы), и его выходная величина.

Погрешности по выходной величине связаны с их соответствующими причинами аффинором – тензором соответствующих чувствительностей. Если x_i – i-тый фактор, изменение которого вызывает погрешность в выходной величине y_i (входной фактор), то координата аффинора, связывающая оба изменения,

.

Если необходимо на выходе получить относительную погрешность, то

.

Если относительную погрешность по выходу необходимо связать с относительным изменением входного фактора, то

.

Входные факторы могут быть связаны между собой. В этом случае, кроме вышеназванных диагональных, появляются координаты аффинора, выражающие опосредованное влияние входных факторов на выходную величину (друг через друга). Так, координата аффинора, выражающая влияние j-того фактора на выходную величину через i-тый фактор (для абсолютных изменений),

.

Если входные факторы изменяются случайным образом, то диагональные элементы матрицы аффинора, связывающие доверительные отклонения на входе и выходе, имеют вид

,

где x_ia и x_ib – доверительные границы x_i;

p(x_ia) и p(x_ib) – значения плотности вероятности соответственно в точках x_ia и x_ib;

и  производные в точках x_ia и x_ib.

При симметричном законе распределения x_i p(x_ia) = p(x_ib), и формула для a_i упрощается:

.

Если необходимо суммировать n случайных погрешностей, то применяется формула векторного сложения

,

где g_ij – координаты метрического тензора векторного пространства, представляющие косинусы углов между соответствующими векторами. Если _I и _j – доверительные значения погрешностей, то g_ij определяется видом их вероятностных распределений, степенью взаимной корреляции, доверительной вероятностью P_д и отношением . Зависимости g_ij = f (_ij) для некоррелированных равномерно распределённых погрешностей и различных P_д приведены на рис. 2.

Рис. 2

2. Динамические погрешности

Динамической погрешностью любого средства измерений, в том числе датчика, называется погрешность, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины. Данное официальное определение следует понимать так, что динамическая погрешность возникает по причине изменения измеряемой величины во времени.

Динамическая погрешность зависит, с одной стороны, от скорости изменения измеряемой величины, а с другой – от динамических свойств, характеризующих данное средство измерения. Для описания последних могут быть использованы:

• совокупность амплитудно- и фазо-частотной характеристик (АЧХ и ФЧХ);

• передаточная функция;

• амплитудно-фазовая характеристика (АФХ).

АЧХ и ФЧХ представляют соответственно модуль и аргумент комплексной чувствительности , где и - символы (комплексные выражения) соответственно входной и выходной величин. Т.е. АЧХ

,

и ФЧХ

.

Эти характеристики описывают поведение системы в частотной области.

Передаточная функция получается при замене j в выражении на оператор Лапласа p. Она используется для описания поведения системы во временной области.

АФХ представляет собою годограф радиус-вектора , т.е. ещё одно, наряду с объединение S() и () в одну характеристику (рис. 3).

Что касается датчиков, то, строго говоря, любой из них представляет собою систему с распределёнными параметрами, в которой любой элемент обладает массой, податливостью и демпфированием (успокоением), либо их аналогами из другого раздела физики. Тем не менее, сплошь и рядом датчики могут рассматриваться как системы с сосредоточенными параметрами. Если это не так, то возможен приближённый расчет, по крайней мере, механических систем датчиков путём замены отдельных элементов с распределёнными параметрами эквивалентными им по значению собственной частоты элементами с сосредоточенными параметрами. Так, собственная частота датчика ускорения может быть выражена как

,

где m_экв – эквивалентная масса, составляющая 0,4 массы груза, p – суммарная податливость груза и упругого элемента.

Многие датчики динамически представляют собою фильтры низких частот, обладающие пологой АЧХ на низких частотах и отклонением от неё с повышением частоты, которое и характеризует динамическую погрешность. Если такой датчик описывается колебательным звеном с малым успокоением (к таким относятся, например, датчики ускорения), его относительная динамическая погрешность

,

где   степень успокоения, , f – частота изменения измеряемой величины.

Если датчик описывается апериодическим звеном (что характерно для датчиков, использующих тепловые процессы), его относительная динамическая погрешность

,

где T – постоянная времени. Для датчика температуры цилиндрической формы

.

Здесь k – характеристика материала датчика, d – его диаметр,  - коэффициент теплоотдачи. Последний для искусственного конвективного теплопереноса с помощью омывания датчика потоком газа, направленным поперечно к цилиндру, определяется как

,

где Re – критерий Рейнольдса, c и n – его функции,   удельная теплопроводность среды. Критерий Рейнольдса

,

где v – скорость потока,  - кинематическая вязкость газа.

Если датчик описывается реальным дифференцирующим звеном (что имеет место, например, для пьезодатчиков с нагрузкой на низких частотах), то

.

Построение градуировочных характеристик средств измерения

В результате экспериментального определения градуировочной характеристики (ГХ) получается ряд точек (x_i, y_i). Поскольку соответствующие измерения проводятся с погрешностями, эту последовательность обычно аппроксимируют какой-либо гладкой функцией. Чаще всего в качестве такой функции выступает линейная функция. Весьма часто удачная аппроксимация получается при использовании дробно-линейной функции . При невозможности с достаточной точностью осуществить аппроксимацию дробно-линейной функцией можно использовать несколько таких функций с разными параметрами a, b, c применяя их к разным участкам ГХ (кусочно-дробно-линейная аппроксимация), либо суммируя.

Для проверки согласия построенной в результате аппроксимации ГХ с экспериментальными данными используют отклонения результатов измерений y_i от расчётных значений y_iр = f (x_i), где f (x_i) – аппроксимирующая функция: y_i = y_i - y_iр. При этом могут быть применены простые непараметрические критерии, например, критерий знаков или серий.

В критерии знаков используется статистика , равная числу положительных членов y_i. Если функциональный вид f (x_i) выбран верно, это число, очевидно, не должно сильно отличаться от числа отрицательных членов. В соответствии с этим согласие считается неудовлетворительным, если выполняется условие

n  N (Q, min (, n - )),

где n – число точек; N – критическое значение, которое находится по табл. 1 (см. Приложение); Q – уровень значимости (вероятность напрасно отвергнуть правильную гипотезу).

В критерии серий используется статистика R, равная общему числу серий в последовательности y₁,, y_n (серией называется часть последовательности, содержащая члены одного знака). Это число не должно быть ни слишком малым, ни слишком большим. Оно должно находиться в пределах, указываемых в табл. 2 (см. Приложение), в которой m и n – количества положительных и отрицательных членов y_i.

Задачи

Задача 1

В зазоре электромагнита шириной δ = 50 мкм с индукцией 0,4 Тл расположен датчик Холла (см. рис.), питаемый током I = 100 мА. Определить погрешность измерения индукции, вносимую с

П

обственным полем датчика, если один из подводящих проводов П расположен так, как показано на рисунке. При симметричном расположении обоих проводов индукция собственного поля датчика

.

При расчете принять, что составляющие индукции собственного поля датчика, создаваемые полупроводниковой пластиной и подводящим проводом, одинаковы.

Задача 2

Определить погрешность от нагружения вибрирующего объекта массой m = 1 кг датчиком ускорения массой m_д = 18 г. Амплитуду силы, приводящей в движение объект, считать постоянной.

Задача 3

Определить частотную зависимость погрешности от нагружения вибрирующего объекта массой m = 1 кг датчиком вибросмещения с жесткостью упругого элемента C = 10 Н/м и массой корпуса m_к = 50 г. Частотный диапазон 10 – 100 Гц. Амплитуду силы, приводящей в движение объект, считать постоянной. Механический импеданс сейсмической системы датчика считать равным C/jω, корпуса – jωm_к.

Задача 4

О пределить перемещение конца А и наибольшее напряжение в плоской пружине при нагружении ее силой F (см. рис.), если размеры и материал пружины заданы. Определить также наибольшее напряжение при заданном перемещении конца.