2. Алгоритм симплекс-метода.

Изложим теперь этот метод решения, в общем виде.

Пусть дана симплексная форма задачи ЛП, то есть каноническая задача ЛП, матрица системы которой имеет разрешенный вид, свободные члены неотрицательны и целевая функция зависит только от свободных переменных:

(1)

Здесь мы считаем свободными переменные . Запишем функциюв виде уравнения:

, (2)

Уравнениям (1) и (2) соответствует первая симплекс-таблица:

			…..			…..
0	1	0	…..	0		…..
0	0	1	…..	0		…..			(3)
…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..	…..
0	0	0	…..	1		…..
1	0	0	…..	0		…..

Начало алгоритма симплекс-метода.

Шаг 1. По симплекс-таблице находим опорное решение. На первом шаге это будет:

и (4)

Шаг 2. Проверяем условие оптимальности полученного опорного решения. Если последняя (индексная) строка таблицы (3) не содержит отрицательных элементов, то есть, все коэффициенты целевой функции неположительные:то опорное решение является оптимальным. Решение задачи заканчивается, и мы переходим к шагу 9.

Если условие оптимальности: , не выполнено, то продолжаем решение задачи.

Шаг 3. Выбираем номер одного из столбцов, содержащих отрицательные элементы в индексной строке. Соответствующий столбец объявляем ведущим.

Шаг 4. Определяем минимальное допустимое отношение для каждой строки по правилу:

где - номер ведущего столбца.

Шаг 5. Выбираем номер ведущей строки с минимальным допустимым отношением.

Соответствующую строку называем ведущей. Если такой выбор невозможен, то есть все , то заканчиваем решение, поскольку в этом случае задача не имеет решения. Переходим к шагу 10.

Шаг 6. Делим ведущую строку на ключевой элемент , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца. В результате на месте ключевого элементаполучаем единицу:.

Шаг 7. Из каждой строки таблицы, кроме ведущей, вычитаем ведущую строку, умноженную на элемент текущей строки, стоящий в ведущем столбце. В результате получаем, что все элементы ведущего столбца, кроме ключевого, равного единице, равны нулю, то есть ведущий столбец превратился в базисный. При этом оказывается, что один из базисных столбцов превратился в свободный (именно, тот, который содержал 1 в ведущей строке). Нами получена новая симплекс-таблица, отличающаяся от прежней набором базисных столбцов.

Шаг 8. Переходим к шагу 1.

Шаг 9. Объявляем, что получено оптимальное решение и выводим результаты решения. Затем переходим на конец алгоритма.

Шаг 10. Сообщаем, что задача не имеет решения и переходим на конец алгоритма.

Конец алгоритма.

1.9. Геометрическая интерпретация симплекс-метода.

Мы уже знакомы с геометрической интерпретацией задачи линейного программирования (п. 1.6.). Рассмотрим теперь симплекс-метод также с геометрической точки зрения. Суть дела проясняет следующая теорема.

Теорема. Каждое опорное решение канонической задачи ЛП. Является угловой точкой области допустимых решений. Наоборот, каждая угловая точка ОДР канонической задачи ЛП является опорным решением.

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть - угловая точка. Пусть отрезокцеликом лежит в ОДР, и его середина совпадает с:

(1)

Векторное равенство (1) равносильно системе равенств для координат

(2)

Если - свободная переменная опорного решения, то из (2) следует, что

(3)

Поскольку и- допустимые решения, тоиСумма двух отрицательных чисел может равняться нулю, только, если эти числа сами равны нулю:

и (4)

Это означает, что итакже являются опорными решениями с тем же набором свободных и, следовательно, базисных переменных. Но такое решение может быть только одно. Следовательно,, то есть отрезок, представляет из себя точку. Таким образом, мы показали, что не существует отрезкацеликом лежащего в ОДР и содержащегов качестве своей внутренней точки. Утверждение доказано.

Доказательство второго утверждения довольно сложное и мы его не приводим.

Итак, мы видим, что симплекс-метод геометрически означает переход от одной угловой точки к другой, в которой значение целевой функции больше (или равно) предыдущему значению. Поскольку целевая функция растет только в направлении вектора роста, то движение по угловым точкам совершается в симплекс-методе в том же направлении.