Вопрос 4. Предел числовой последовательности. Предел функции.

Предел числовой последовательности

Назовем числовой последовательностью ряд значений функции целочисленного переменного. Если изображать элементы бесконечной последовательности точками числовой оси, то может оказаться, что все члены последовательности начиная с некоторого номера окажутся внутри интервала , окружающего некоторую точку . Если величина с увеличением номера убывает и стремится к нулю, то число называют пределом последовательности и пишут . Второе определение предела: число называется пределом последовательности , если для любого, сколь угодно малого найдется номер такой, что при номере будет

Понятие предела является удобным инструментом исследования бесконечных процессов. Действительно, если бесконечная последовательность имеет пределом число , то с известной точностью она может быть приближенно заменена конечной последовательностью .

Предел функции непрерывного аргумента.

Число называют пределом функции при стремящимся к бесконечности и пишут , если для любого сколь угодно малого найдется положительное число , зависящее от , сколь угодно большое такое, что при будет .

Число называют пределом функции при стремящемся к и пишут , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при .

Функция при стремящемся к имеет бесконечный предел, если каково бы ни было сколь угодно большим положительное число , существует число такое, что при будет .

Вопрос 5. Вычисление пределов. Виды неопределенностей при вычислении пределов и способы их раскрытия.

Многие пределы могут быть найдены на основании знания поведения основных элементарных функций.

Пример 4.

Вычислить .

Функция при неограниченно возрастает, следовательно при . Дробь, у которой числитель постоянен, а знаменатель стремится к бесконечности, также стремится к нулю. Отсюда имеем .

Пример 5. Вычислить .

Дробная рациональная функция определена и непрерывна во всех точках за исключением тех, где знаменатель обращается в нуль. При , , поэтому значение предела находим путем подстановки в функцию . Имеем .

При вычислении пределов полезны следующие утверждения:

1. Предел постоянной функции равен значению этой постоянной.

2. Предел суммы, разности, произведения и частного функций равен сумме, разности и частному пределов этих функций.

3. Если и , то .

При вычислении пределов могут возникать неопределенности типов (1^) и другие.

Способы раскрытия неопределенностей.

Если появляется неопределенность типа то нужно и числитель и знаменатель дроби делить на х^к, где к - старшая степень.

Если появляется неопределенность типа то нужно стремиться разложить на множители числитель и знаменатель, выделяя множитель (х-а) или работая с сопряженным выражением.

Неопределенность типа может быть раскрыта с использованием первого замечательного предела и его следствий или с помощью следствий из второго замечательного предела.

Первый замечательный предел

Следствия:

Второй замечательный предел

или

где число е - иррациональное, е » 2,71828...

Следствия:

(1^)

Неопределенность (1^) раскрывается с помощью второго замечательного предела.