Введение в математический анализ. Тема. Введение в анализ.

Вопрос 1. Действительные числа.

Математический анализ – одно из главных изобретений математики «нового времени». Основополагающие результаты его были получены в 17-18 вв. Декартом, Ньютоном, Лейбницем, Эйлером и другими учеными. Создание математического анализа происходило одновременно с бурным развитием промышленности, естественных наук и в значительной мере было вызвано потребностями в выполнении инженерных расчётов и в теоретическом осмыслении природных процессов.

Предметом изучения анализа являются переменные величины (процессы) и соотношения между ними. При этом основываются на понятии числа, которое назовем действительным числом в отличие от комплексного, потребность в котором возникнет в дальнейшем. Отметим, что любое действительное число можно записать конечной или бесконечной десятичной дробью, например, , . При введении масштаба измерения любое действительное число можно представить отрезком определенной длины. Благодаря последнему свойству, действительные числа изображают точками на числовой оси. (Числовая ось – направленная прямая с фиксированной точкой отсчета и выбранным масштабом измерения. Положительные числа откладываются от точки отсчета в направлении оси, отрицательные – в противоположном направлении.) Абсолютной величиной числа “ ” называют неотрицательное число , вводимое по правилу

Абсолютная величина числа указывает расстояние от точки отсчета до точки, изображающей данное число на оси. Для абсолютных величин выполняются неравенства

.

Множество действительных чисел “ ”, удовлетворяющих неравенству , называют закрытым интервалом и обозначают . Если неравенство строгое , то интервал называют открытым и пишут . Комбинации открытого и закрытого интервалов образуют полуоткрытые интервалы

и .

Если хотят показать множество чисел « » для которых выполняется неравенство , то пишут интервал бесконечной длины или при . Символом бесконечности обозначается неограниченная длина интервала.

Вопрос 2. Понятие функции. Общие свойства функции.

Функция является одним из основных понятий математического анализа.

Функция – закон по которому каждому числу « » из какого-либо множества значений ставится в соотношение некоторое определенное число « ». Принято называть число « » аргументом, а число « » функцией. При этом пишут .

Множество значений аргумента « », для которых задана функция, называется областью определения функции.

Множество значений, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Функцию можно задать аналитически, указывая алгоритм вычисления значения функции для каждого значения аргумента; табличным способом – записывая перечень всевозможных значений функции с указанием соответствующего аргумента; графически – путем изображения в системе координат множества точек плоскости, координаты которых равны значениям аргумента и функции.

Общие свойства функции.

1.Четность, нечетность функции.

Функция f называется четной, если:

а) область определения функции симметрична относительно нуля, то есть для любого x, принадлежащего области определения, -x также принадлежит области определения.

б) f(-x)=f(x) для любого x из D(y).

Функция называется нечетной, если:

а) область определения функции симметрична относительно нуля.

б) f(-x)=-f(x) для любого x из D(y).

График четной функции симметричен относительно оси Oy, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 1.

y=cos(x) – четная функция.

y=sin(x) – нечетная функция.

2. Периодичность.

Число Т называется периодом функции, если f(x)=f(x+T)=f(x-T), где x+T, x-T принадлежат D(y).

Пример 2.

y=sin(x) – периодическая функция, период .

3. Пересечение с осями.

Пример 3.

(3;0) – точка пересечения с ох.

(0;81) – точка пересечения с оу.

4. Промежутки знакопостоянства.

f(x)>0 – график функции находится над осью ох.

f(x)<0 – график функции находится ниже оси ох.

5. Возрастание и убывание.

Функция называется возрастающей на промежутке x, если для любых x₁ и x₂ из этого промежутка таких, что , выполняется неравенство .

Функция называется убывающей на промежутке x, если для любых x₁ и x₂ из этого промежутка таких, что , выполняется неравенство .

6. Экстремумы функции.

Точка x₀ из области определения функции f(x) называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки x₀ , что для всех из этой окрестности .

Точка x₀ из области определения функции f(x) называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки x₀ , что для всех из этой окрестности .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.