Задание 4

В задачах 4.1—4.20 по таблице, содержащей данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени, требуется:

1) составить матрицу А прямых затрат;

2) проверить продуктивность матрицы А;

3) найти матрицу полных затрат (Е –А)^–1;

4) найти прирост объемов валовых выпусков по каждой отрасли (в процентах), если конечное потребление увеличить по

отраслям соответственно на 30, 10 и 50%.

Справочный материал к заданию

б) Модель многоотраслевой экономики Леонтьева

Основной задачей при математическом моделировании экономических процессов является задача создания модели межотраслевого баланса. Модель эта называется моделью Леонтьева (по имени ее создателя) и активно используется для управления народным хозяйством.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

x_i — общий (валовый) объем продукции i-й отрасли за данный промежуток времени;

x_ij — объем продукции i-й отрасли, расходуемой j-й отраслью в процессе производства ;

y_i — объем продукции i-й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере — объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей производственной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Указанные величины можно свести в таблицу.

Производственное потребление	Конечное потребление	Валовый выпуск
х11 х12 ... х1n x21 x22 ... x2n .............................. xn1 xn2 ... xnn	y1 y2 ... yn	x1 x2 ... xn

Так как валовый объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

(1)

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

,

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными, это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

,

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса называется линейной. Соотношения баланса (1) примут вид:

(2)

или в матричной записи

Х = А · Х + У, (3)

где , Х = , У = ,

А — матрица прямых затрат, Х — вектор валового выпуска, У — вектор конечного потребления.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного потребления У. Перепишем уравнение (3) в виде Х – АХ = У, или Е · Х – А · Х = У, (Е – А) ·Х = У,

откуда

Х = (Е – А)^–1 ·Y. (4)

Матрица (Е – А)^–1 называется матрицей полных затрат. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x_i должны быть неотрицательными при y_i  0 и a_ij  0, где .

Матрица А  0 называется продуктивной, если для любого вектора У  0 существует решение Х  0 уравнения (3). В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.

Теорема 1. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)^–1 существует и ее элементы неотрицательны.

Теорема 2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

,

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.