Задание 3

В задачах 3.1–3.20 решить матричное уравнение.

Справочный материал к заданию

1) Рассмотрим матричное уравнение вида А·Х = В, где А – невырожденная квадратная матрица порядка m, В – матрица размера m⤫р , А и В – известные матрицы. Чтобы найти неизвестную матрицу Х размера m⤫р умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу А^-1 – обратную к матрице А: А^-1 ·А·Х = А^-1·В. Учитывая, что А^-1 ·А = Е, где Е –единичная матрица порядка m, получим решение матричного уравнения

Х = А^-1·В.

2) При решении матричного уравнения вида Х·А = В, в котором А – известная невырожденная квадратная матрица порядка m, В –известная матрица размера р⤫ m , умножают обе части матричного уравнения справа на матрицу А^-1 – обратную к матрице А: Х·А· А^-1 = В· А^-1, после чего получают решение Х = В·А^-1.

3) Пусть в матричном уравнении вида А·Х·В = С матрицы А, В, С известны, причем А - невырожденная квадратная матрица порядка m, В – невырожденная квадратная матрица порядка р , а известная матрица С размера m⤫р . Умножим обе части исходного матричного уравнения слева на обратную к матрице А и справа на обратную в матрице В:

А^-1 ·А·Х· В· В^-1 = А^-1·С· В^-1, откуда получим решение матричного уравнения: неизвестная матрица Х размера m⤫р имеет вид Х = А^-1·С ·В^-1.

Рекомендации к выполнению задания

1)При решении задачи определить тип матричного уравнения и метод его решения (см. справочный материал к решению задачи).

2) Найти обратные к известным заданным квадратным матрицам исходного уравнения.

3)Выписать решение матричного уравнения и найти его путем перемножения матриц в правой части уравнения.

Пример решения задачи

1. Решить матричное уравнение

Уравнение вида А·Х = В, определитель матрицы А = равен -1, матрица А невырожденная. Найдем обратную к ней А^-1:

А^-1= = (-1) =

Найдем теперь неизвестную матрицу Х = А^-1·В =

2. Решить матричное уравнение Х·

Уравнение вида Х·А = В, det A = 2, найдем обратную к матрице А.Матрица алгебраических дополнений имеет вид , тогда

обратная матрица А^-1= =

Решение матричного уравнения

Х = В·А^-1= = .

3. Решить матричное уравнение

Это матричное уравнение вида А·Х·В = С . Для матриц

А = и В = существуют обратные, так как определители этих матриц отличны от нуля: det A = 7 , а det В = -2.

А^-1 = и В^-1 = , и решение матричного

уравнения имеет вид Х = А^-1·С ·В^-1 =

Задачи 3.1-3.20

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6

3.7. X = . 3.8. X = .

3.9. . 3.10. X = .

3.11. X = . 3.12. .

3.13. X = . 3.14. X = .

3.15. X = . 3.16. X = .

3.17. X = . 3.18. X = .

3.19. X = . 3.20. X = .