Рекомендации к выполнению задания

 Записать расширенную матрицу системы.

· Провести элементарные преобразования строк матрицы, последовательно исключая неизвестные.

· Привести систему к треугольному или ступенчатому виду.

· Выписать решение системы.

Пример решения задачи Решить системы уравнений методом Гаусса:

a ) x₁ + 2x₂ – x₃ + х₄ = –3 б) 3х₁ + 2х₂ + х₃ = 5

–х₁ – х₂ + х₃ – 2х₄ = 1 х₁ + х₂ – х₃ = 0

х₁ + 3х₂ – х₃ = –5 4х₁ – х₂ +5х₃ = 3

в ) х₁ – х₂ + х₃ + 5х₄ = 0

3х₁ + 2х₂ + 2х₃ – х₄ = 1 .

х₁ + 4х₂ – 11х₄ = 0

Решение:

а)

C₂+C₁→C₂^/ C₃- C₂→C₃^/

C₃- C₁→C₃^/

Получен ступенчатый вид расширенной матрицы, из которого видно, что система имеет бесчисленное множество решений: ранг расширенной матрицы системы совпадает с рангом основной матрицы системы и равен двум, а число неизвестных системы n=4 больше ранга равного 2. Выберем базисный минор – минор порядка равного рангу основной матрицы системы, отличный от нуля, например , он определяет базисные переменные х₁ и х₂, остальные неизвестные системы х₃ и х₄ назовем свободными и перепишем систему в виде

.

Выразим теперь базисные переменные х₁ и х₂ через свободные неизвестные х₃ и х₄:

х₂ = –2 + х₄ ,

х₁ = –2х₂ – 3 + х₃ – х₄ = –2(–2 + х₄) – 3 + х₃ – х₄ =

= 4 – 2х₄ – 3 + х₃ – х₄ = 1 + х₃ – 3х₄.

Общее решение системы имеет вид:

(1 + х₃ – 3х₄, –2 + х₄, х₃, х₄), где х₃, х₄ R,

а базисное решение системы получим из общего полагая свободные неизвестные х₃ и х₄ равными нулю , т.е. (1, –2, 0, 0).

б)

.

Получили треугольный вид системы, т.е. последнее уравнение имеет одно неизвестное.

x₁ + x₂ – x₃ = 0

x₂–4x₃ = -5 .

x₃ = 2

Подставим х₃ = 2 во второе уравнение системы, найдем х₂ :

х₂ = –5 + 4х₃ = –5 + 4 · 2 = –5 + 8 = 3.

Подставим х₂ и х₃ в первое уравнение системы, найдем х₁:

х₁ = –х₂ + х₃ = –3 + 2 = –1.

Система имеет единственное решение

х₁ = –1, х₂ = 3, х₃ = 2.

в)

Последнее уравнение полученной системы ступенчатого вида:0 · х₁ + 0 · х₂ + 0 · х₃ + 0·х₄ = ‑1не имеет смысла, такая система решений не имеет, она несовместна.

Ответ:

а) система имеет бесконечно много решений вида:

(1 + х₃ – 3х₄, –2 + х₄, х₃, х₄), где х₃, х₄  R;

б) система имеет единственное решение х₁ = –1, х₂ = 3, х₃ = 2;

в) система несовместна, решений не имеет.

Задачи 2.1–2.20

1) Решить систему двумя способами: используя формулы Крамера и

матричным методом

2.1. а) 2.2. а)

2.3. а) 2.4. а)

2.5. а) 2.6. а)

2.7. а) 2.8. а)

2.9. а) 2.10. а)

2.11. а) 2.12. а)

2.13. а) 2.14. а)

2.15. а) 2.16. а)

2.17. а) 2.18. а)

2.19. а) 2.20. а)

2) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

2.1. б) 2.2. б)

2.3. б) 2.4. б)

2.5. б) 2.6. б)

2.7. б) 2.8. б)

2.9. б) 2.10. б)

2.11. б) 2.12. б)

12.13. б) 2.14. б)

2.15. б) 2.16. б)

2.17. б) 2.18. б)

2.19. б) 2.20. б)