Решение систем линейных уравнений с использованием формул Крамера и матричным способом

Рассмотрим систему n-линейных уравнений с n неизвестными:

а ₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁

а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + … + a_2nx_n = b₂

_{…………………………………………………………}

а_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + … +a_nnx_n = b_{n ,}

_{которая} с учетом определения произведения матриц может быть записана в виде: А · Х = В

Если матрица А невырожденная, т.е. определитель матрицы ∆=det A ≠0, то система совместна и определенна, её единственное решение можно найти по формулам Крамера:

, к = 1, 2, 3,…, n,

где ∆_к – определитель, получающийся из главного определителя ∆ заменой к-го столбца на столбец свободных членов.

Другую форму записи решения системы линейных уравнений можно получить матричным методом. Умножим обе части матричного уравнения А · Х = В на обратную к матрице А слева: А^-1·А·Х = А^-1·В и получим

Х = А^–1 · В или

.

Рекомендации к выполнению задания

1. При решении системы по формулам Крамера вычислить главный и вспомогательные определители системы и для получения решения системы воспользоваться формулами Крамера,

2. При решении системы матричным методом найти обратную матрицу к основной матрице системы и найти решение по формуле Х = А^–1 · В

Пример решения задачи

Решить систему линейных уравнений

двумя способами: 1)используя формулы Крамера ,

2)матричным методом (с помощью обратной матрицы)

Решение

1. Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдем главный определитель системы:

∆=

и вспомогательные определители:

∆₁=

∆₂=

∆₃=

Отсюда получим решение системы:

2. Решим систему с помощью обратной матрицы. Введем обозначения А= , Х= , тогда система линейных уравнений может быть записана в виде матричного уравнения А·Х=В. Найдем определитель матрицы: ∆=det A =-19≠0, значит обратная матрица существует. Выпишем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А:

Запишем матрицу алгебраических дополнений и

союзную матрицу , тогда обратная матрица

А^-1=А^*/ det A= .

Сделаем проверку: А· А^-1= =

= Е.

Найдем теперь решение по формуле Х = А^–1 · В =

х₁=2, х₂=-3, х₃=4.

Ответ: х₁=2, х₂=-3, х₃=4.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой системы, т.е. множества решений обеих систем совпадают.

Следующие элементарные преобразования переводят систему в равносильную:

1) перемена местами любых двух уравнений;

2) умножение обеих частей любого уравнения на неравное нулю число;

3) прибавление к обеим частям любого уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.

Данные преобразования проще выполнять над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, которая называется расширенной матрицей системы:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ … а_1n b₁

( А IВ) = a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n b₂

---------------------- ---

a_m1 a_m2 a_m3 … a_mn b_m

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных и в приведении расширенной матрицы системы к треугольному

или ступенчатому виду путем элементарных преобразований.

Пусть с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к треугольному виду:

или к ступенчатому виду

Треугольный вид соответствует совместной определенной системе, т.е. исходная система имеет единственное решение. Ступенчатый вид соответствует при b_r+1 ≠ 0 несовместной системе, а при b_r+1 = b_r+2 = … = b_m = 0 совместной неопределенной системе (в этом случае система имеет бесконечное множество решений).