Задание 2

В задачах 2.1–2.20 даны системы линейных уравнений а) и б).

1) Решить систему а) двумя способами: используя формулы Крамера и

матричным методом (с помощью обратной матрицы);

2) Решить систему б) методом Гаусса. Найти общее и базисное решения

этой системы.

Справочный материал к заданию

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица из m · n чисел, расположенных в m строках и n столбцах

= (a_ij) ,

где числа (a_ij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) называются элементами матрицы.

Матрица называется квадратной n-го порядка, если m = n.

Квадратная матрица n-го порядка называется единичной, если на ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны 0:

Матрица А^т, получаемая из матрицы А заменой местами строк на столбцы с теми же номерами, называется транспонированной.

Суммой матриц А = (a_ij) и B = (b_ij) одного и того же размера называется матрица C = (c_ij) = A + B, где c_ij = a_ij + b_ij.

Произведением матрицы А = (a_ij) размера m × n на вещественное число  называется матрица C = (c_ij) =  A, где c_ij =  · a_ij.

Произведением матрицы А = (a_ij) размера m × n на матрицу B = (b_jk) размера n × p называется матрица C = (C_ik) = A · В размера m × p, где , т.е. элемент C_ik матрицы С размера m × p равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. В общем случае А · B  B · А.

Квадратная матрица А называется неособенной или невырожденной, если ее определитель det A  0.

Определитель квадратной матрицы А = (a_ij) равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения (алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется умноженный на (–1)^i+j определитель, полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца).

Квадратная матрица А^–1 называется обратной к квадратной матрице А, если А · А^–1 = А^–1 · А = Е.

Если матрица

неособенная (невырожденная), т. е. det A  0, то она имеет обратную, причем единственную.

Обратная матрица вычисляется по формуле:

А^–1 = ,

где А^* — союзная (присоединенная) матрица к матрице А.

Чтобы найти союзную матрицу, построим сначала матрицу ( ) алгебраических дополнений матрицы А:

,

а затем транспонируем ее и получим следующую матрицу:

Системой m-линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

а ₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

--------------------------------------

a_m1x₁ + a_m2х₂ + … + a_mnx_n = b_m

Эту систему можно записать в матричной форме:

А · Х = В, где

основная матрица системы,

матрица- столбец неизвестных, В = -- матрица-столбец свободных коэффициентов.

Система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Решением системы называется всякая матрица-столбец Х, обращающая матричное уравнение А · Х = В в тождество.