Контрольная работа по линейной алгебре

В настоящей методической разработке содержатся базовые понятия, справочный теоретический материал, примеры решения задач по разделам линейной алгебры.

Детально разобранные примеры решения задач имеют цель помочь студентам глубже освоить теоретический материал и применять его при изучении смежных экономических дисциплин. Самостоятельное выполнение контрольной работы обеспечит успешную подготовку к экзаменационной сессии в первом семестре.

Контрольная работа выполняется студентами заочной формы обучения в обязательном порядке. Номер варианта определяется как остаток от деления числа, составленного из последних двух цифр номера зачетной книжки и взятых в том же порядке, на число 20. Если деление выполняется без остатка, то номер варианта 20.

Студент должен оформить решение своего варианта в отдельной тетради. Задания должны быть представлены в том порядке, в котором они пронумерованы в данной работе. Условия заданий должны быть полностью записаны перед решением. Выполненная и надлежащим образом оформленная работа должна быть сдана лаборанту на кафедру прикладной математики для регистрации. Желательный срок сдачи - до 15 декабря.

Зачтенные контрольные работы остаются на кафедре прикладной математики. Если работа не зачтена, то она через лаборанта возвращается студенту вместе с рецензией для доработки. Работу над ошибками следует выполнить в этой же тетради после указанных рецензентом замечаний. Правильно выполненные задания переписывать заново не надо.

Студенты, справившиеся с контрольной работой, допускаются к сдаче экзамена.

В случае затруднений при выполнении заданий студент может обратиться к ведущему преподавателю во время консультаций.

Консультации проводятся согласно расписанию.

Задание 1

В задачах 1.1–1.20 даны координаты четырех точек А₁, А₂, А₃, А₄.

1) Показать, что векторы А₁А₂, A₁A₃ и А₁А₄ образуют базис;

2) Найти объем пирамиды с вершинами в точках А₁, А₂, А₃, А₄;

3) Вычислить угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

4) Определить площадь грани А₁А₂А₃;

5) Составить общее уравнение плоскости А₁А₂А₃;

6) Составить канонические уравнения высоты, опущенной из

вершины А₄ на грань А₁А₂А₃, и вычислить длину этой высоты.

Справочный материал к заданию

а) Определители второго и третьего порядков

Определитель второго порядка a₁₁a₂₂ – а₁₂а₂₁

равен разности между произведением элементов на главной диагонали

и произведением элементов на побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется либо через определители второго порядка разложением по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца (например, при разложении по элементам первой строки):

либо по правилу треугольников: определитель равен алгебраической сумме произведений по три элемента согласно схеме:

где прямыми линиями соединены элементы определителя, произведение которых входит в сумму со своим знаком в случае А) и с противоположным знаком в случае Б), т.е.

 = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₃₁а₂₂а₁₃ – а₁₁а₃₂а₂₃ – а₃₃а₂₁а₁₂.