Рекомендации к выполнению задания

1)В левой части равенства слагаемые сгруппировать по переменным х и у, затем выделить полные квадраты и сделать выводы о типе кривой второго порядка.

2) По общему уравнению кривой вычислить определители δ и ∆, и,

используя таблицу, дать характеристику кривой второго порядка.

Пример решения задачи

1) А) х² + 4 у² - 6 х + 16 у + 21 = 0 = 0

(х² - 6 х +9) + (4 у² + 16 у + 16) – 4 = 0

( х - 3)² + 4 ( у + 2)² = 4

- уравнение смещенного эллипса с центром в

точке С(3,-2). Полуоси a =2, b = 1; вершины эллипса ; эксцентриситет

уравнения директрис х= 3+ х= 3- .

координаты фокусов .

Б) 25 х² -9у² +50 х +72 у -344 = 0

(25 х² +50 х) –(9у² -72 у ) -344=0

25(х² +2 х+1) – 9(у² -8 у+16)-25+144-344=0

25(х+1)² – 9 (у- 4)² = 225

- уравнение смещенной гиперболы с центром в

точке С(-1,4). Полуоси a =3, b = 5; вершины гиперболы ; эксцентриситет

уравнения директрис

х= -1+

координаты фокусов .

В) у² - 6 х + 10 у + 31 = 0

(у² + 10 у + 25) - 6 х + 6 = 0

(у + 5)² = 6 ( х – 1 ) – уравнение смещенной параболы с вершиной в

точке С(1,-5), ось симметрии которой задана уравнением у = -5,

ветви параболы расположены симметрично этой оси при х ,

параметр параболы р = 3, уравнение директрисы х= , координаты

фокуса ( , -5).

Г) х² + у² + 6х -10у + 18= 0

(х² + 6х +9) + (у² -10у + 25) + 18 -9 -25 = 0

( х + 3 )² + (у -5 )² = 16 – уравнение окружности с центром в точке

С(-3,5) радиуса R = 4.

2) Определим тип кривой второго порядка

2 х² - 6 ху + 1 у² - 4 х + 8 у - 10 = 0.

Составим два определителя:

δ =

Δ=

Имеем уравнение гиперболы (см. таблицу : δ<0, ∆≠0 ).

Задачи 6.1- 6.20

6.1 а) у² -10 х -2у - 19 = 0

б) х² - 4 ху + у² - 2х + 4 у -1= 0

6.2 а) у² - 6 х + 14 у + 49 = 0

б) 2 х² - 2 ху + 2 у² - 2 х - 2 у + 1 = 0

6.3 а) х² + 2 у² - 4 х + 16 у = 0

б) 4 ху + 4 х - 4 у = 0

6.4 а) 9 х² - 16 у² - 36 х - 32 у - 124 = 0

б) 2х² - 2 ху + 2 у² + 6 х - 6 у - 3 = 0

6.5 а) у² + 8 х - 16 = 0

б) 3 х² - 4 ху + 3 у² + 6 х - 4 у - 2 = 0

6.6 а) х² + у² + 10 х + 4 у + 13 = 0

б) х² + 4 ху + у² + 4 х + 2 у - 2 = 0

6.7 а) х² - 6 х - 4 у + 29 = 0

б) 4 х² - 2 ху + 4 у² - 10 х + 10 у - 1 = 0

6.8 а) х² - 4 у² + 2 х + 16 у - 7 = 0

б) х² + 2 ху + у² - 4 х - 8 у + 1 = 0

6.9 а) 4 х² + 3 у² - 8 х + 12 у - 32 = 0

б) х² - 2 ху + у² - 2 х + 2 у - 7 = 0

6.10 а) х² + у² + 16 у + 15 = 0

б) 2 ху + 2 х + 2 у - 3 = 0

6.11 а) 3 х² - у² + 12 х - 4 у - 4 = 0

б) 5 ху + у² - 14 х² = 0

6.12 а) х² - 8 х - у + 15 = 0

б) х² - 2 ху + 2 у² - 4 х - 6 у + 3 = 0

6.13 а) х² + у² + 2 х + 4у - 31 = 0

б) х² - 4 ху + 4 у² + 2 х - 2 у - 1 = 0

6.14 а) х² - 4 у² + 6 х + 5 = 0

б) 4 х² - 4 ху + у² + 4 х - 2 у + 1 = 0

6.15 а) 4 х² + 25 у² + 8 х - 100 у + 4 = 0

б) 9 х² - 6 ху + у² - 6 х + 2 у = 0

6.16 а) х² +4 у² + 4 х - 16 у - 8 = 0

б) х² - 2 ху + 2 у² - 4 х - 6 у + 29 = 0

6.17 а) 9 х² - 25 у² - 18 х - 100 у - 316 = 0

б) х² - 2 ху - 2 у² - 4 х - 6 у – 13/3 = 0

6.18 а) х² + 2 у² + 8 х - 4 = 0

б) х² + 6 ху + у² + 6 х + 2 у - 1 = 0

6.19 а) х² - у² - 4 х + 6 у - 5 = 0

б) 3 х² - 2 ху +3 у² + 4 х +4 у - 4 = 0

6.20 а) 5 х² - 6 у² + 10 х -12 у - 31 = 0

б) х² - 4 ху + 3 у² + 2 х - 2 у = 0