Задачи 5.1-5.20

5.1 А = 5.2 А = 5.3 А =

5.4 А = 5.5 А = 5.6 А =

5.7 А = 5.8 А = 5.9 А =

5.10 А = 5.11 А = 5.12 А =

5.13 А = 5.14 А = 5.15 А =

5.16 А = 5.17 А = 5.18 А =

5.19 А = 5. 20 А =

Задание 6

В задачах 6.1—6.20 даны уравнения а) и б) кривых второго порядка.

1) Уравнение кривой а) привести к каноническому виду и построить её. Для эллипса и гиперболы определить координаты центра, вершин, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот (для гиперболы). Для окружности найти координаты центра и радиус. Для параболы определить координаты вершины, фокуса, величину параметра, уравнение оси симметрии, уравнение директрисы.

2) Определить тип кривой второго порядка, заданной общим уравнением б), по квадратичной форме этой кривой.

Справочный материал к заданию

1) Линия на плоскости, которая в прямоугольной декартовой системе координат Оху определяется алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат, называется линией второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0,

где А, В, С, D. E. F – действительные числа, причем А² + В² + С² > 0.

Если это уравнение определяет кривую, то ею может быть либо окружность, либо эллипс, либо гипербола, либо парабола.

О кружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Уравнение окружности радиуса R с центром

в начале координат:

x² + y² = R²;

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x₀; y₀):

(x − x₀)² + (y − y₀)² = R²;

Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная, равная 2а, большая, чем расстояние между фокусами 2с.

К аноническое уравнение эллипса, большая полуось которого лежит на координатной оси x, а малая полуось- на координатной оси y:

;

точки F₁(c; 0) и F₂(− c; 0) – фокусы эллипса; точки A₁(a; 0), A₂(− a; 0), B₁(b; 0), B₂(− b; 0) – вершины эллипса, отрезок A₁A₂ длиной 2а – большая ось, отрезок В₁В₂ длиной 2b – малая ось эллипса; точка О(0; 0) – центр эллипса; длина отрезка F₁F₂, равная 2с = 2 , – межфокусное расстояние, эксцентриситет эллипса ε = с /а < 1 характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой оси, уравнения директрис х= ± а/.

П римечание. Если в уравнении эллипса

х²/a ² + у²/b ² = 1 выполняется неравенство

b² > а², то фокусы эллипса лежат на оси у,

расстояние между фокусами такого эллипса

2с = 2 , эксцентриситет ε = с /b < 1,

уравнения директрис у = ± b/.

Уравнение определяет смещенный эллипс с центром в точке С( , оси симметрии которого параллельны координатным

осям Ох и Оу.

Гипербола – множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная 2а, меньшая, чем расстояние между фокусами 2с.

Каноническое равнение гиперболы, действительная ось которой расположена на координатной оси x, а мнимая ось- на координатной оси y:

;

т очки F₁(c; 0) и F₂(−c; 0) – фокусы гиперболы, точки A₁(a; 0), A₂(−a; 0), – вершины гиперболы, точка О(0; 0) – центр гиперболы, отрезок A₁A₂ длиной 2a – действительная ось, отрезок В₁В₂ длиной 2b – мнимая ось гиперболы, длина отрезка F₁F₂, равная 2с, – межфокусное расстояние, 2c = 2 , прямые y = х, y = – х − асимптоты гиперболы, эксцентриситет гиперболы ε = с /а >1, уравнения директрис х= ± а/.

Примечание. Если уравнение гипербо-

лы имеет вид – х²/a ² + у²/b² = 1, то ее фо-

кусы лежат на оси у, расстояние между фо-

кусами такой гиперболы 2с = 2 ,

эксцентриситет ε = с /b > 1, уравнения ди-

ректрис у = ± b/, уравнения асимптот

у =  bx/a.

У равнение гиперболы, асимптотами которой являются координатные оси x и y имеет вид:

y = , где k ≠ 0

(на рисунке приведена гипербола для случая k > 0).

Уравнение определяет смещенную гиперболу с центром в точке С( , оси симметрии которой параллельны координатным осям Ох и Оу.

Парабола − множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса параболы) и данной прямой (директрисы параболы).

Каноническое уравнение параболы:

y² = 2px,

(задание соответствующей параболы в явном виде:

x = y²/ 2p), где p – фокальный параметр параболы;

точка О(0; 0) – вершина параболы; точка F(p/ 2; 0)

– фокус параболы; прямая x = − p/ 2 – директриса

(фокальный параметр р равен расстоянию от фоку-

са до директрисы, p > 0); ось абсцисс – ось парабо-

лы.

Если ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат - с вершиной, и парабола лежит в левой полуплоскости, то ее уравнение будет

иметь вид у² = - 2рх. Если вершина находится в начале координат, а ось параболы совмещена с осью ординат, парабола будет иметь уравнение х² = 2ру, если её ветви лежат в верхней полуплоскости, и х² = -2ру, если её ветви расположены в нижней полуплоскости.

Уравнения смещенных парабол с вершиной в точке С(хо,уо) имеют соответственно вид: (у—у₀)² =2р(х—х₀), (у—у₀)² =—2р(х—х₀),

(х — х₀)² = 2(у — у₀), (х — х₀)² = —2(у — у₀) .

Уравнение параболы со смещенными вершиной и вертикальной осью:

y = ax² + bx + c,

где a ≠ 0, b и с − действительные числа (на

рисунке приведена парабола для случая a > 0);

точка A(x₀; y₀) − вершина параболы: x₀ = – ,

y₀ = – (D = b²−4ac − дискриминант квадрат-

ного уравнения ax² + bx + c = 0). Если парабола

пересекает ось абсцисс в точках x₁ и x₂ (x₁ и x₂ − корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0), то y = ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Если точка вершины А лежит на оси абсцисс (парабола касается оси абсцисс) в точке (x₀; 0), то y = ax² + bx + c = a(x − x₀)².

Директриса кривой второго порядка (кроме окружности) – прямая, расстояние между которой и любой точкой M кривой второго порядка пропорционально расстоянию между точкой M и соответствующим фокусом этой кривой.

Примечание. Директриса и соответствующий ей фокус для эллипса и гиперболы лежат по одну сторону от центра этих кривых; у эллипса и гиперболы по две директрисы.

Эксцентриситет кривой второго порядка (кроме окружности) – отношение расстояния r от точки M до фокуса кривой второго порядка к расстоянию d от точки M до соответствующей этому фокусу директрисы, т.е. эксцентриситет ε = r/d. Для эллипса ε = r/d = c/a < 1; для гиперболы ε = r/d = c/a > 1; для параболы ε = r/d = 1.

П римечание: задание директрисы и соответствующего ей фокуса полностью определяет все параметры и расположение эллипса, гиперболы и параболы (для точек на ветвях гиперболы, чтобы не перегружать рисунок, указаны расстояния r и d только до фокуса F₁).

2)Для определения типа кривой второго порядка, заданной общим уравнением Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0, рассмотрим два определителя:

δ Δ= и воспользуемся следующей таблицей

	∆≠0	∆=0
δ>0	Эллипс (действительный или мнимый)	Мнимые прямые, пересекающиеся в вещественной точке
δ=0	Парабола	Параллельные прямые (действительные, мнимые или слившиеся)
δ<0	Гипербола	Действительные пересекающиеся прямые