Задание 5

В задачах 5.1—5.20 найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицей А

Справочный материал к заданию

Пусть дана квадратная матрица А порядка n

Ненулевой вектор Х, удовлетворяющий условию А·Х = λ·Х называется собственным вектором матрицы А, а соответствующее ему число λ – собственным значением матрицы А.

А·Х - λ·Х = 0, А·Х - λ·Е·Х = 0, ( А - λ·Е )· Х = 0,

где Е – единичная матрица , а вектор Х = .

Матричное уравнение ( А - λ·Е )· Х = 0 имеет вид при переходе к покоординатному равенству:

(1)

Нас интересуют ненулевые решения однородной системы, поэтому приравняем определитель однородной системы к нулю: det ( A – λE)=0

или = 0 (2)

Левая часть уравнения (2) называется характеристическим многочленом

матрицы А: det ( A – λE). Это многочлен n – ой степени, он может иметь не более n действительных корней.

Действительные корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

При последовательной подстановке в систему (1) для каждого λ находится ненулевое решение однородной системы (2) – собственный вектор линейного преобразования, заданного матрицей А.

Рекомендации к выполнению задания

1. Составить матрицу А- λЕ и характеристическое уравнение

det ( A – λE)=0.

2. Найти корни характеристического уравнения .

3. Подставить значение корня в однородную систему (2) и найти соответствующий собственный вектор.

Пример решения задачи

А =

Составим матрицу А- λЕ = и перейдем в соотношении ( А - λ·Е )· Х = 0 к покоординатному равенству

(3)

где координаты собственного вектора Х.

Составим характеристическое уравнение матрицы А для нахождения собственных значений:

det ( A – λE) = 0 или .

Имеем det ( A – λE) = (4-λ)

=- . Характеристическое уравнение - имеет действительные корни

Найдем собственный вектор , отвечающий собственному значению

для чего это значение λ = 0 подставим в однородную систему (3)

При определитель этой системы равен нулю, поэтому однородная система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Найдем их методом Гаусса

4С₂ – 5С₁→С₂^/ С₃-С₂→С₃^/

2С₃ - 3С₁ →С₃^/

Получим равносильную систему трапецеидального вида:

или

Положим х₃ = 3t, тогда х₂= 2 t, х₁= t, получим собственный вектор

, где t .

Рассуждая аналогично, получим при

Найдем ненулевые решения этой системы

С₃:3→С₁^/ 2С₂-5С₁→С₂^/ С₃-С₂→С₃^/

С₁→С₃^/ 2С₃-3С₁→С₃^/

Имеем однородную систему откуда следует

2х₁ = 3х₂-х₃=3х₃-х₃=2х₃ или Положим получим собственный вектор , где s .

Ответ:

, где t ;

, , где s .