20.1.2. Закон взвешенного среднего

Применяя метод взвешенного среднего в теории адаптивных ожиданий, обычно предполагают, что для любой пары последовательных периодов вес (значимость) предыдущего периода меньше, чем вес последующего. Другими словами, чем более удален от сегодняшнего дня рассматриваемый период в прошлом, тем меньший вес будет приписываться величине инфляции в этом периоде. Это вполне соответствует логике рассуждения людей при формировании инфляционных ожиданий. В самом деле, разумно предположить, что причины, вызвавшие ускорение инфляции в предыдущем месяце с высокой вероятностью будут продолжать действовать и в следующем. Поэтому фактическое значение темпа инфляции в течение месяца, непосредственно предшествующего нынешнему, будет входить в прогноз будущей инфляции с большим весом. А вот если речь идет о темпах инфляции, имевших место десять лет назад, то трудно представить, чтобы причины, обусловливавшие динамику инфляции в столь давнее время, продолжали в значительной степени влиять на сегодняшний темп инфляции. Поэтому величина инфляции десятилетней давности будет учитываться в текущем прогнозе с очень незначительным весом.

В общем виде формула для прогнозирования будущего темпа инфляции на основе взвешенного среднего выглядит следующим образом:

(20.5)

Коэффициенты _i в этой формуле по-прежнему описывают «доверие» экономических агентов к имеющейся информации, они определяют степень адаптации ожиданий к темпам инфляции, наблюдавшимся в прошлом. Значения этих коэффициентов (в общем случае именуемых просто весами) должны удовлетворять двум условиям:

1. , если i < j. Это условие и означает возрастание веса по мере приближения к настоящему периоду и убывание веса по мере удаления в прошлое. Мы не требуем строгого неравенства, т.к. допускаем, что значимость двух «соседних» периодов может оказаться равной.

2. . Сумма весовых коэффициентов равна единице. В противном случае полученный нами показатель уже не будет являться взвешенным средним. Заметьте, что это условие неявно означает, что все периоды «старше» N (т.е. еще более удаленные во времени), оказываются для нас совершенно незначимыми, т.к. их вес следует признать равным нулю (иначе нарушится условие единичной суммы весов).

Для более точной формулировки закона формирования ожиданий по принципу взвешенного среднего следует определить весовые коэффициенты в уравнении (20.5). Для этого мы должны выбрать их таким образом, чтобы выполнялись оба приведенных выше условия, т.е. монотонное убывание весов с удалением в прошлое и единичная сумма всех весов.

1 способ. Предположим, что весовые коэффициенты линейно убывают в зависимости от порядкового номера периода, т.е. в зависимости от числа периодов, отделяющих текущий момент от момента, характеризуемого конкретным весовым коэффициентом. Графически эту закономерность можно изобразить так: (рис. 20.1):

Рисунок 20.1. Графическая интерпретация линейно убывающих весовых коэффициентов. По мере увеличения i, т.е. по мере продвижения из настоящего в прошлое, веса, с которыми фактические темпы инфляции входят в прогноз будущего темпа инфляции, убывают. Теоретически это убывание является бесконечным; на практике же после определенного периода N веса становятся настолько малы, что информацию о темпах инфляции всех периодов до N включительно можно считать незначимой для формирования сегодняшних ожиданий.

Считальный зал

Вывод формулы весовых коэффициентов для закона взвешенного среднего с линейным убыванием весов

На рис. 20.1 видно, что коэффициенты будут принимать положительные значения до некоторого номера N. А начиная с номера N принимают нулевые значения, то есть для всех . Остается лишь определить на отрезке [0, N] линейную функцию так, чтобы значения весовых коэффициентов убывали и чтобы общая сумма этих N коэффициентов была равна 1. В общем виде линейная зависимость выглядит следующим образом:

Два последовательных значения весовых коэффициентов оказываются в этом случае связаны друг с другом соотношением

Вспомним, что если каждое последующее значение становится на какую-то величину меньше предыдущего, то мы имеем дело с убывающей арифметической прогрессией. В нашей арифметической прогрессии ровно (N + 1) членов, по числу весовых коэффициентов в уравнении (20.5). Из того, что в точке i = N линейная функция пересекает ось абсцисс, следует, что и . Первый член прогрессии имеет номер i = 0 и потому . Каждый член этой прогрессии может быть представлен в виде . Сумма членов арифметической прогрессии равна

Для того чтобы выполнить второе условие, т.е. сделать сумму весовых коэффициентов равной единице, разделим все члены полученной прогрессии на . Каждый член новой (нормированной) прогрессии будет в этом случае задаваться формулой:

.

Определив весовые коэффициенты правилом

(20.6)

мы добьемся выполнения обоих условий, указанных выше. Во-первых, такие весовые коэффициенты убывают с ростом порядкового номера i, т.е. с удалением от настоящего периода t в прошлое. Во-вторых, сумма всех (N + 1) коэффициентов окажется равной единице:

(20.7)

После того, как значения весовых коэффициентов заданы, закон формирования ожиданий оказывается определен с точностью до числа периодов, которые население принимает во внимание при построении ожиданий. Заметьте, что по построению последний коэффициент оказывается равным нулю, т.е. момент времени, отстоящий от текущего на N периодов назад в прошлое, уже оказывается незначимым. Если значимых периодов два, т.е. N = 2, то весовые коэффициенты должны принимать значения и , а вес (значимость) периода, предшествовавшего предыдущему, окажется равным нулю: .

Как же определить, сколько последних периодов будут учитывать люди при построении ожиданий на будущее? Чем ограничено их число? Назначив какое-либо конкретное значение N, мы наложим существенное ограничение на поведение индивидуумов и их способности принимать решения. Проще всего было бы предположить, что люди в состоянии оценивать произвольно много периодов. В этом случае если совсем давние периоды окажутся незначимыми, то это отразится нулевым (или близким к нулю) значением весового коэффициента. Линейное убывание коэффициентов не может породить бесконечно много ненулевых весов, да и кроме того предположение о линейном убывании коэффициентов пренебрегает тем фактом, что разница в значимости между двумя последними периодами существенно выше, чем разница в значимости между двумя почти забытыми очень давними периодами. И правда, при прогнозировании инфляции нам практически все равно, какой она была 10 лет или 11 лет назад. А вот разница между темпом инфляции полугодовой и годичной давности более существенна. Чтобы учесть это обстоятельство, мы вынуждены предположить убывание весов по более сложному закону.

2 способ моделирования весов в рамках модели взвешенного среднего сводится к предположению о нелинейном убывании весов. Мы сможем добиться того, что вес даже очень давних периодов окажется все еще не равным нулю (хотя, быть может, и близким к нулю), если предположим, что вес каждого последующего периода в какое-то число раз меньше предыдущего. Такое правило в точности соответствует определению бесконечной убывающей геометрической прогрессии, и если определить член прогрессии в виде

(20.8)

где , то сумма всех членов такой убывающей прогрессии окажется равной единице, что удовлетворит обоим условиям, накладываемым на весовые коэффициенты.

Считальный зал

Вывод формулы весовых коэффициентов для закона взвешенного среднего с экспоненциальным убыванием весов

Выберем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с произвольным знаменателем так, что каждый член прогрессии задан формулой . Очевидно, что с ростом индекса i, будет убывать значение коэффициента q. Сумма этой прогрессии равна

Остается лишь повторить операцию нормирования, как в случае арифметической прогрессии, уменьшив все члены прогрессии пропорционально в раз. Первый член новой прогрессии в этом случае будет равен , а i-й – . Сумма членов новой прогрессии равна

Теперь число учитываемых периодов оказывается бесконечно большим, но значимыми будут лишь те, весовой коэффициент при которых существенно отличается от нуля. Заметим при этом, что значимость периода может оказаться небольшой, но если в течение него наблюдались высокие темпы инфляции, то они продолжают влиять на ожидания, формирующиеся сегодня. Если население страны прошло через период гиперинфляции, то память об этом долго еще будет сказываться на прогнозах! Даже если период гиперинфляции отстоит на 10 лет назад, дисконтирующий фактор обеспечит периоду десятилетней давности весовой коэффициент (значимость) , что при темпах инфляции десятилетней давности порядка 100% в год исказит сегодняшний прогноз на 2,1%. Согласитесь, если за эти десять лет правительству удалось победить инфляцию, и сегодня ее темпы не превышают 5-6%, то искажение в 2,1% - это уже довольно много!