Чему равна ошибка ожиданий?

Часто приходится слышать, что разница между адаптивными и рациональными ожиданиями состоит в том, что ошибка первых не равна нулю, а ошибка вторых равна нулю. Верно ли это утверждение? Чтобы разобраться в этом, рассмотрим простейший числовой пример.

Предположим, как и в предыдущей главе, что темп инфляции до периода 0 включительно был равен 5%, но в периоде 1 увеличился до 7%. Каким будет прогноз инфляции на будущий период агента, строящего свои ожидания в соответствии с гипотезой адаптивных ожиданий (назовем его адаптивным агентом), и каким будет прогноз человека, чьи ожидания соответствуют теории рациональных ожиданий (назовем его рациональным агентом)?

Мы уже знаем, что при временном повышении цен фактическая инфляция в периоде 2 вернется к 5%, а при постоянном повышении – останется на уровне 7%. Наш адаптивный агент при построении прогноза на период 2 будет стремиться минимизировать ожидаемую ошибку. И прежде всего он должен решить для себя, с какой вероятностью темп инфляции составит 5%, а с какой вероятностью 7%. Если эти события равновероятны, то прогноз в 6% (^e₂ = 0,5·5% + 0,5·7% = 6%) будет оптимальным, ибо ожидаемое значение ошибки окажется равным нулю. Действительно, ожидаемое значение ошибки представляет собой разницу между ожидаемым темпом инфляции и фактически сделанным прогнозом. В случае равновероятных событий и прогноза в 6% эти две величины совпадут между собой. Если же прогноз будет сделан на уровне 7%, то ожидаемая ошибка составит 2% с вероятностью 0,5 (если вместо 7% будет наблюдаться инфляция в 5%) и 0% тоже с вероятностью 0,5 (если как и предсказано, темп инфляции окажется равным 7%). Как видим, даже зная что инфляция не может принять значение 6%, адаптивный агент сделает именно такой прогноз, ибо он сводит ожидаемую ошибку к нулю. Фактическая ошибка в данном случае составит 1% в обоих исходах.

Если наш агент более склонен считать неожиданные события случайными, то он может приписать величине 5% вероятность, скажем, 0,75, и значению 7%, соответственно, 0,25. Тогда оптимальным окажется прогноз на уровне 0,75*5% + 0,25*7% = 5,5%. Снова ошибка такого прогноза заведомо положительна, но ожидаемая ошибка равна нулю! В самом деле, наш адаптивный агент ожидает, что с вероятностью ¾ темп инфляции составит 5%, и тогда ошибка прогноза будет равной 0,5% (переоценка инфляции), а с вероятностью ¼ темп инфляции составит 7%, и ошибка прогноза окажется равной –1,5% (недооценка инфляции), и в сумме ожидаемая ошибка равна ¾ * 0,5% + ¼ * ( –1,5%) = 0%.

Как видим, ожидаемая ошибка адаптивного агента равна нулю, хотя это свойство часто приписывают лишь рациональным ожиданиям. В чем же разница между адаптивными и рациональными ожиданиями?

Разница лишь в том, как адаптивный и рациональный агенты судят о вероятности того или иного исхода. В отличие от адаптивного агента, рациональному агенту известно больше, он ориентируется не только на историю темпов инфляции, но и на иные сведения. Представления рационального агента о распределении вероятности могут быть иными, и скажем, зная, что скачок инфляции оказался временным, рациональный агент примет решение, что с вероятностью 1 завтра восстановится темп инфляции на уровне 5%. В этом случае прогноз рационального агента будет сделан именно на этом уровне, и ожидаемая им ошибка тоже будет нулевой: по его мнению с вероятностью 1 темп инфляции будет равным 5%, что порождает ошибку в 0%, а темп инфляции в 7%, порождающий ошибку в 2% может наблюдаться с вероятностью 0. Фактически же темп инфляции может оказаться равным 7%, но это будет означать, что рациональный агент составил неправильное мнение о распределении вероятности, а значит либо использовал не всю доступную информацию (и это нарушение гипотезы о рациональности ожиданий), либо случилось непредвиденное событие (форс-мажор). В случае форс-мажора ошибка рациональных ожиданий оказывается не равной нулю, и может даже превышать ошибку адаптивных ожиданий (вспомните, адаптивный агент предсказывал 6% или 5,5% инфляции, и его фактическая ошибка не превышала 1,5%, что меньше ошибки рационального агента в 2% в случае форс-мажора). Но ожидаемая ошибка все равно оказывается равной нулю, т.к. форс-мажор был непредсказуем, а значит вероятность его с точки зрения рационального агента равна нулю.

Особое отличие форс-мажорных ситуаций состоит в том, что они влияют на темп инфляции то в одну, то в другую сторону, так что в среднем их влияние оказывается нулевым. Именно это и позволяет сделать вывод о том, что как ожидаемая, так и средняя ошибка рациональных ожиданий окажутся равными нулю. Чего нельзя сказать об ожиданиях адаптивных: ожидаемая ошибка равна нулю, а вот средняя их ошибка как правило нулю не равна, особенно в периоды ускорения или замедления инфляции.