1.2.6. Представление элементов векторного пространства со

скалярным произведением

Существует прямая связь между сигналом и его представлением. Предположим, что - произвольное мерное пространство, натянутое на базис , тогда для имеем

. (1.2.26)

Если левую и правую часть умножить скалярно на , то

. (1.2.27)

Получим систему линейных скалярных уравнений, решив которую относительно вектор-строки получим представление в пространстве относительно базиса .

Выберем так, чтобы они были попарно ортогональны к , т.е.

(1.2.28)

Тогда получаем

Откуда

. (1.2.29)

Базис , удовлетворяющий (1.2.28), называется взаимным базисом, для которого при любом получаем

. (1.2.30)

Очень удобно использование в качестве базиса в ортонормальной системы. Напомним, что система векторов называется ортонормальной, если взаимным базисом для нее является она сама. При этом все векторы взаимно ортогональны и их норма равна единице:

. (1.2.31)

Тогда для любого сигнала имеем

. (1.2.32)

То есть получаем взаимно-однозначное соответствие между векторами в и их представлением в . В этом случае обеспечивается равенство скалярных произведений в векторном и скалярном пространствах (). Так для и имеем

. (1.2.33)

Важное значение имеет построение ортогональных базисов. Одним из наиболее употребляемых способов при этом является так называемый рекуррентный способ ортогонализации Грама-Шмидта, который заключается в следующем.

Пусть в задана система линейно независимых векторов. Тогда система ортонормальных векторов получается путем нормализации вспомогательных векторов по следующему правилу:

, ,

, ,

, , (1.2.34)

. . . . . . .

, .

Заметим, что если функции переставить местами, то получим другую, но тоже ортонормальную систему.

Рассмотрим пример. Применим процедуру Грама-Шмидта к последовательности функций , определенных на отрезке . В этом случае .

, , ,

, , ,

,

,

. . . . . . .

1.3. Дискретное представление сигналов

1.3.1. Подпространства сигналов с конечной энергией ( )

Рассмотрим задачу численного представления произвольного сигнала с ограниченной энергией . Пусть нужно найти отображение в пространство . При этом выбирается исходя из требуемой точности и экономичности представления сигналов. Так как число измерений пространства бесконечно (поскольку сигнал считаем произвольным), а конечно, отображение должно быть типа «много в одно». При этом произвольный сигнал из не может быть представлен в отлично от всех остальных сигналов. Поэтому пространство разбивается на множества эквивалентности, каждому из которых взаимно однозначно соответствует некоторая точка в .

Выберем -мерное пространство следующим образом. Пусть - система линейно-независимых функций из , таких, что при условие

(1.3.1)

выполняется в том и только том случае, если для всех . Натянем на линейное подпространство . Тогда сигнал , принадлежащий , может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации:

, (1.3.2)

где коэффициенты образует искомое представление в .

Поскольку есть пространство со скалярным произведением и учитывая, что в соответствии с ()

, ,

отношением между и может быть выражено в матричной форме:

или

, (1.3.3)

где: ; .

Откуда можно найти :

. (1.3.4)

Для другого способа нахождения введём в взаимные базисные функции и выразим их через базисные функции ,

. (1.3.5)

Опричем

(1.3.6)

есть символ Кронекера.

Следовательно, в целом для системы:

, (1.3.7)

тогда

. (1.3.8)

Заметим, что в обоих подходах нахождения коэффициентов разложения нужно вычислять обратные матрицы.

Теперь рассмотрим, как находить представление произвольного сигнала из , не принадлежащего . Для этого произвольному вектору поставим в соответствие вектор , наиболее близкий к . Таким образом, каждый вектор из порождает множество эквивалентностей:

, (1.3.9)

при этом все векторы из будут иметь одно и то же представление в виде набора чисел, совпадающее с представлением вектора .

Важное значение в теории сигнала имеет теорема проектирования, утверждающая, что для любого вектора существует единственный вектор , задаваемый разложением

, (1.3.10)

такой, что разность ортогональна ко всем векторам из и , где -любой другой вектор из .

Докажем это.

. (1.3.11)

Отсюда следует, что вектор ортогонален ко всем векторам в . Для того, чтобы показать, что - минимальная из всех , рассмотрим произвольный вектор :

(1.3.12)

Поскольку т.к. , средние слагаемые пропадают, и мы имеем

, (1.3.13)

откуда следует, что минимум достигается при .

Вектор называют ортогональной проекцией вектора на , а вектор погрешностью приближения вектора вектором .