1.2.4. Нормированные линейные пространства сигналов

Для улучшения геометрических свойств линейного пространства сигналов определяют действительное число, характеризующее «размер» сигнала этого пространства, которое называется нормой вектора и обозначается . Норма должна удовлетворять следующим требованиям:

1. и ;

2. ; (1.2.12)

3. .

Тогда

(1.2.13)

метрика, которая делающая линейное пространство сигналов метрическим. Норма сигнала равна расстоянию точки от начала координат до точки в пространстве сигналов, соответствующая этому сигналу.

Норма сигнала объединяет геометрические свойства метрического пространства и алгебраические свойства линейного прогстранства.

Нормированное линейное пространство сигналов, являющееся полным метрическим, называется банаховым пространством.

Для упорядоченных последовательностей действительных или комплексных чисел норму обычно определяют соотношением:

, (1.2.14)

а для действительных или комплексных функций времени, характеризующих сигналы, заданные на интервале времени - соотношением

. (1.2.15)

Последнее соотношение имеет простую физическую интерпретацию: квадрат нормы является энергией сигнала. Началом координат здесь является функция, равная нулю почти всюду на всем интервале . Заметим, что множество функций, для которых норма (1.2.15) ограничена, называется пространством и часто обозначается .

При этом справедливы общепринятые обозначения для временных интервалов

;

; ,

пространства , например, , , и т.д.

1.2.5. Пространства сигналов со скалярным произведением

Для улучшения структуры пространства сигналов вводят еще одну геометрическую характеристику – скалярное произведение двух сигналов (векторов), являющуюся отображением упорядоченных пар сигналов линейного пространства в комплексную плоскость (в частном случае на действительную ось). Скалярное произведение будем обозначать как . При этом оно должно удовлетворять следующим условиям:

1) ;

2) ; (1.2.16)

3) .

Покажем, что

(1.2.17)

есть норма линейного пространства и удовлетворяет требованиям (1.2.12). Очевидно, что условия

и

выполняются по определению. Покажем, что выполняется и неравенство треугольника. Для этого предварительно докажем, что

. (1.2.18)

Возьмем вектор , где - скаляр. По определению

. (1.2.19)

Положив , из (2.19) получаем неравенство

, (1.2.20)

из которого сразу следует (1.2.18).

Теперь докажем неравенство треугольника. Для этого используем равенство .

,

где

, , , .

Тогда

,

откуда получаем

. (1.2.21)

Таким образом, скалярное произведение сигналов порождает норму, а та в свою очередь - метрику.

Если пространство со скалярным произведением является метрически полным, то оно называется гильбертовым пространством сигналов.

Скалярное произведение часто интерпретируют как меру угла между векторами. Так, исходя из неравенства Шварца можно записать

, (1.2.22)

и тогда

. (1.2.23)

Очень часто используется понятие ортогональности векторов. Два вектора (сигнала) и ортогональны тогда и только тогда, когда .

Приведем пример использования скалярного произведения для сигналов с ограниченной энергией. Пусть сигнал сдвигается во времени. Обозначим через сигнал , сдвинутый во времени на , т.е.

.

Тогда для пространства имеем

(1.2.24)

где .

Таким образом, каждому сигналу ставится в соответствие действительная функция от временного сдвига, которая определяет вызванное таким сдвигом смещение точки, изображающей сигнал в пространстве сигналов. Для быстро изменяющихся сигналов уменьшается (сужается) с ростом . В случае короткого сигнала , будет узкой, но, как видно из рис. 1.6, и сигналу большой длительности может соответствовать «узкая» . При решении многих практических задач используют сигналы с узкой . Например, в радиолокации, где эту функию называют сечением функции неопределенности вдоль оси времени , это позволяет с высокой точностью измерить время прихода сигнала. При исследовании случайных сигналов ту же функцию называют автокорреляционной функцией сигнала .