1.2.2. Сходимость последовательностей сигналов
Рассмотрим
свойство бесконечных последовательностей
сигналов, которое связано с понятием
расстояния и называется сходимостью.
Говорят, что последовательность сигналов
сходится, если существует такое
,
что для любого
найдется положительное число
,
такое, что при
.
(Иногда
это записывают как:
.)
Любая последовательность, обладающая таким свойством, называется последовательностью Коши.
Заметим, что последовательность Коши может не быть сходящейся только потому, что элемент , к которому в пределе стремится последовательность, может не принадлежать множеству .
Если метрическое пространство обладает свойством, что все последовательности Коши в нем являются сходящимися, то оно называется полным.
1.2.3. Линейны пространства сигналов
Линейное пространство – это множество элементов, которые называют векторами, и для которых справедливо:
1)
Для каждой пары векторов
и
из множества существует вектор
,
принадлежащий этому же множеству и
называемый их суммой
и
,
такой, что выполняются свойства:
а)
- коммутативность;
б)
- ассоциативность; (1.2.5а)
в)
,
где
- нулевой элемент, единственный в
множестве;
г)
,
причем
- единственный в множестве векторов.
2)
Имеется множество элементов, которые
называются скалярами и образуют
поле. При этом операция умножения
вектора на скаляр ставит любому скаляру
и любому вектору
в соответствие вектор
.
При этом выполняются свойства:
а)
- ассоциативность;
-
дистрибутивность;
г)
,
.
Заметим, что линейное пространство содержит два различных нуля при сложении: один для векторов ( - нулевой элемент), другой для скаляров.
В теории сигналов обычно рассматриваются линейные пространства сигналов с конечными полями скаляров (например, бинарные, в которых используются только 0 и 1. Поэтому отождествлять поле скаляров с множеством всех действительных чисел не всегда удобно.
Если в качестве скаляров взяты действительные числа, линейное пространство называется действительным линейным пространством, если комплексные, то - комплексным линейным пространством.
Вектор
, (1.2.6)
образованный
суммированием нескольких векторов со
скалярными коэффициентами, называется
линейной
комбинацией. Множество
всех линейных комбинаций векторов
образует линейное
пространство.
Множество сигналов называется линейно
независимым,
если равенство
(1.2.7)
справедливо
только при всех
,
равных нулю. Таким образом, в линейно
независимом пространстве вектор не
может быть представлен в виде линейной
комбинации других векторов.
Пусть
– пространство линейных комбинаций
линейно независимых векторов
.
Тогда каждый вектор в
соответствует единственной линейной
комбинации векторов
,
т.е. единственному множеству скалярных
коэффициентов. При этом
является
‑мерным
линейным пространством. Множество
называют базисом
для
и говорят, что
натянуто на
этом базисе. Заметим, что линейное
пространство имеет множество базисов,
т.к. базисом может служить любое множество
линейно независимых векторов.
Например,
пусть
,
- упорядоченные последовательности из
чисел. Тогда при сложении имеем:
, (1.2.8)
а при умножении:
. (1.2.9)
Очевидно, что любой вектор в ‑мерном пространстве можно представить в виде линейной комбинации
, (1.2.10)
где
(1.2.11)
Заметим,
что упорядоченную последовательность
скалярных коэффициентов
или
также можно трактовать как вектор. Тогда
можно говорить, что имеется однозначное
соответствие между векторами в
пространстве
и векторами в пространстве
или
.