1.4. Приближенное представление сигналов рядами

Для решения практических задач сигналы часто представляют приближенно в виде рядов, т.е. как непрерывную счетную последовательность функционалов :

, (1.1.12)

где - некоторый интервал действительной оси, на котором аппроксимация правомерна, - заданное множество сигналов, выбранных независимо от аппроксимируемого сигнала . Знак указывает на то, что ряд дает приближенное представление.

Для примера рассмотрим временной ряд, представляющий собой импульс, имеющий различные смещения по оси времени. Импульс будем называть интерполирующим, если он удовлетворяет условиям и для , как показано на рис. 1.5.

В этом случае будут являться значениями сигнала в моменты времени , т. е.

(1.13)

Приближенное представление

. (1.1.14)

В моменты времени будет точное равенство, а в остальные моменты приближение будет тем лучшее, чем медленнее меняется .

Для сигналов с ограниченной полосой согласно теории Котельникова получим, что

, (1.1.15)

где - верхняя граничная частота.

Если выборки делаются с частотой (периодом ), то сигнал будет иметь точное представление рядом, а частота называется частотой Найквиста.

Другим распространенным способом представления сигналов рядом является разложение в ряд Фурье. Если (сигнал с ограниченной длительностью) и (периодический сигнал), то

, (1.1.16)

где - интервал действия сигнала для и период для . Коэффициенты разложения определяются функционалами

(1.1.17)

1.2. Пространства сигналов

1.2.1. Метрические пространства сигналов

После объединения различных, но обладающих каким-то общим свойством, сигналов в одно множество нас начинают интересовать отличающиеся свойства отдельных элементов этого множества. Вызвано это тем, что каждый сигнал представляет интерес лишь в сравнении его с другими сигналами этого множества. Например, нас может интересовать амплитуда, энергия или длительность сигнала по сравнению с аналогичными параметрами других сигналов.

Общий подход для исследования различий между сигналами множества состоит в том, что каждой паре сигналов ставится в соответствие действительное положительное число, которое трактуется как расстояние между сигналами. После этого множество приобретает геометрические свойства.

Это равносильно введению функционала , отображающего все пары сигналов множества на действительную ось

.

Функционал называется метрикой и обладает следующими свойствами:

а) (свойство симметрии);

б) при и при (не отрицательность); (1.2.1)

в) (неравенство треугольника).

Свойство а) отражает симметрию, свойство б) говорит о том, что расстояние не может быть отрицательным, свойство в) называют неравенством треугольника: длина одной стороны треугольника не может быть больше суммы длин двух других сторон (представляя точки , и как вершины треугольника).

Множество сигналов с подходящим образом определенным расстоянием представляет собой пространство сигналов.

Если множество обладает некоторой метрикой , то оно называется метрическим пространством . Например, действительная ось является метрическим пространством с метрикой

. (1.2.2)

Эту метрику называют обычной метрикой. Часто используют и другие метрики. Например, если , являются упорядоченными множествами (кортежами), то примеры возможных метрик дают следующие функционалы:

а) - эту метрику называют манхеттовым расстоянием;

б) - эту метрику называют евклидовым расстоянием; (1.2.3)

в) .

Метрика б), в частности, используется для комплексных чисел: модуль числа равен .

Приведем пример еще одной метрики, используемой для последовательностей двоичных символов, состоящих из нулей и единиц – кодовых слов фиксированной длины. Если слова содержат по символов, то расстояние между словами можно определить как

, (1.2.4)

т.е. как сумму несовпадающих символов в одноименных разрядах двоичных слов. Данное расстояние называют расстоянием по Хеммингу и используют, например, в системах связи для обнаружения и исправления ошибочных символов. Для этого заданием расстояния между любой парой слов, равного числу несовпадающих символов, из множества допустимых слов образуется метрическое пространство. Рассмотрим примеры кодов с обнаружением и коррекцией.

Ниже приведены восемь кодов, выбранных из шестнадцати возможных таким образом, чтобы в наборе а) минимальное расстояние между любой парой слов было равно 2.

Это может быть достигнуто добавлением к трем информационным разрядам разряда проверки на четность

.

При этом каждое слово содержит четное число единиц. Поскольку минимальное расстояние между словами равно 2, появление ошибки в одном разряде может быть обнаружено.

Если к разрядам добавить еще разряды проверки на четность и , то получим множество кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 3. В этом случае получаем уже корректирующий код, т.к. появление однократной ошибки (т.е. одного ошибочного символа в слове) приводит к получению кода, который ближе к правильному коду, чем ко всем остальным, поскольку отличается от него только на единицу.