1.2. Представление сигналов как элементов множеств

К ак уже отмечалось, при графическом представлении сигнал изображается обычно графиком. Рассмотрим другое представление, при котором каждый сигнал изображается в пространстве сигналов точкой. В этом случае сигнал можно считать элементом некоторого множества со свойством , которое справедливо для всех сигналов из множества . Условно это можно изобразить как : - множество всех сигналов , для которых выполнено свойство , или : верно для всех сигналов , принадлежащих множеству ».

Таким образом, свойство задает множество сигналов. Отметим, что выбор свойства является непростой задачей, поскольку с одной стороны проще работать с множеством малой мощности (содержащим небольшое число сигналов), с другой же стороны в нем может не отыскаться нужных нам сигналов.

Рассмотрим несколько примеров множеств сигналов, которые наиболее часто используются на практике:

Периодические сигналы. Множество периодических сигналов с периодом обозначим через

. (1.1.1)

Гармонические сигналы. Множество всех гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов обозначим через , тогда

, (1.1.2)

где - множество действительных чисел, а - определяют частоту, амплитуду и начальную фазу всевозможных гармонических колебаний.

Сигналы с ограниченным уровнем. Множество сигналов, мгновенные значения которых ограничены по величине некоторым положительным вещественным числом , обозначим

. (1.1.3)

При этом очевидно, что если , то

.

Сигналы ограниченной длительности. Сигналы, которые равны нулю за пределами интервала времени , обозначим

. (1.1.4)

При этом очевидно, что если , то

.

Сигналы с ограниченной полосой частот. Если максимальная частота сигнала не превышает по модулю значения , то множество сигналов с ограниченной полосой частот можно записать как

, (1.1.5)

где - преобразование Фурье от сигнала .

Сигналы с ограниченной энергией. Это такие сигналы, энергия которых не превышает некоторой величины , где - вещественное положительное число. Обозначим множество таких сигналов через

, (1.1.6)

Интеграл в (1.1.5) в физическом смысле трактуют как энергию. Например, если - напряжение на нагрузочном сопротивлении , то интеграл по времени от квадрата этого напряжения соответствует полной энергии, выделяющейся на этом сопротивлении.

Отметим, что свойство для конкретного множества можно указать и в неявной форме, например для гармонических сигналов

. (1.1.7)

1.4. Операции над сигналами, представленными элементами множеств

Над множествами сигналов, как и над любыми другими множествами возможны различные операции: объединение, пересечение, разбиение, отношение эквивалентности (свойства рефлективность, транзитивность, симметричность).

1.1.3. Отображения и функционалы

Наиболее общий способ установления отношения между элементами состоит в отображении элементов одного множества на элементы другого.

Отображение – это правило, в соответствии с которым элементу одного множества, скажем , ставится в соответствие элемент другого множества, скажем . Символически отображение обозначается как , что является компактной формой следующего выражения:

. (1.1.8)

Элемент называется образом элемента при отображении . Множество является областью определения отображения, а входящее в множество всех образов элементов из является областью изображений. Если область изображений совпадает с , то говорят, что есть отображение на . Отображение всегда однозначно в том смысле, что для каждого элемента существует только один образ (по определению). Если различным элементам из соответствуют различные изображения в , то отображение взаимно-однозначное.

Пусть, например, есть отображение вида

.

Тогда мы имеем отображение множества сигналов на действительную положительную полуось в соответствии с их энергией, как показано на рис. 1.3. В этом случае отношение эквивалентности, соответствующее , разбивает на подмножества сигналов с равной энергией.

то преобразование Фурье есть отображение в другое множество функций с интегрируемым квадратом

.

Отображение задается следующим образом:

. (1.1.9)

Преобразование Фурье является отображением, широко используемым в теории сигналов. Если - множество сигналов с ограниченной энергией

,

то преобразование Фурье есть отображение в другое множество функций с интегрируемым квадратом

.

Отображение задается следующим образом:

. (1.1.9)

Если подходить строго, то это отображение не взаимно-однозначное, т.к. может существовать две и более функций времени, таких, как показано на рис. 1.4., для которых преобразование Фурье одинаково.

Ясно, что - это отображение «многих в одно». Множество эквивалентности, определяемое преобразованием , содержит функции времени, отличающиеся лишь на конечном множестве точек в любом интервале времени. Такие разрывные сигналы не имеют практического значения, поэтому обычно рассматривают множество эквивалентности как один сигнал. Эта эквивалентность означает равенство почти всюду, и мы не будем различать сигналы и соответствующие им множества эквивалентности, определяемые равенством «почти всюду». Т. е. будем считать, что взаимно-однозначное отображение.

Обратное отображение задается соотношением:

. (1.1.10)

Соотношения (1.1.9) и (1.1.10), взятые вместе, называются парой преобразований Фурье.