7. Функции Эрмита

Для и полиномы

(1.3.33)

образуют ортонормальную систему. - полиномы Эрмита, которые задаются в виде

(1.3.34)

или рекуррентной формулой

. (1.3.35)

Функций Эрмита

(1.3.36)

ортонормальны с единичным весом на и могут быть получены процедурой Грама-Шмидта к последовательности .

8. Функции Уолша

Для и можно построить полную ортонормальную систему функций типа типа «прямоугольных волн». Каждая -ая функция содержит прямоугольных волн, поэтому в обозначении функции удобно использовать два индекса: .

(1.3.37)

Эта система важна для практики, поскольку функции кусочно-постоянны и принимаю лишь два значения ( или ). Подобные сигналы могут быть легко получены с помощью двоичных логических схем. Перемножение таких сигналов для получения, скажем, скалярного произведения производится очень просто, с помощью ключа, изменяющего полярность и включаемого в нужные моменты времени. Заметим, что функции соответствуют обычным прямоугольным волнам. Мы можем перейти к соответствующей одноиндексной системе, упорядочив функции (1.3.37) так, чтобы -ая функция раз пересекала нулевой уровень на интервале (т.е. раз меняла знак). Это достигается при следующих обозначениях:

, (1.3.38)

где (рис. 1.8).

Функции Уолша определены на интервале , следовательно, и исходный сигнал должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в . Новый сигнал будет описываться формулой .

Коэффициенты разложения найдем по формуле

.

.

1.3.4. Аппаратурная реализация разложения сигнала

Разложение сигналов по базисным функциям имеет вид:

, (1.3.39а)

где

, (1.3.39б)

где - взаимный базис.

Эти два выражения можно рассматривать как пару преобразований. В (1.3.39а) сигнал представлен определенной линейной комбинацией , а формула (1.3.39б) дает линейное правило для отыскания разложения сигнала на выбранные компоненты. Последнюю операцию можно рассматривать как обратную по отношению к разложению, и именно ее мы хотим реализовать с помощью соответствующих физических устройств. Этим устройством является анализатор спектра, показанный на рис. 1.10. Схему, реализующую «обобщенный анализатор спектра», можно выполнить иначе, заменив ячейки «перемножитель-интегратор» на ячейки «квантователь-фильтр».

Сложность состоит в точной реализации системы функций . На практике не всегда удается сформировать эти функции достаточно точно. В реальных задачах часто требуется, чтобы эти функции были неотрицательны, тогда приходится использовать вещественные неотрицательные функции. Часто возникает требование, чтобы эти функции были порогового типа.

Рассмотрим случай, когда исследователь не может выбрать вид функции, а должен использовать уже имеющиеся, т.е. требуется разложить сигнал по одной системе функций, а в распоряжении имеется другая система функции, с использованием которой нужно получить оценки разложения по требуемой системе функций.

Такую задачу можно сформулировать следующим образом.

Имеются устройства, реализующие функционалы . Как использовать эти устройства, чтобы получить наилучшее (в смысле минимума расстояния в сопряженном пространстве) приближение произвольного функционала ?

Для этого используем ортогональное проектирование на подпространство , которое натянутое на . С точки зрения аппаратной реализации это система параллельных цепей, в каждой из которых регулируется коэффициент усиления , как показано на рис. 1.11, а затем сигналы цепей суммируются. При этом коэффициенты усиления выбираются из условия минимизации и определяются через

скалярные произведения в сопряженном пространстве.

Применяя ортогональное проектирование, имеем

, (1.3.40)

где

, (1.3.41)

где - взаимный базис в подпространстве , натянутом на .

Для любого сигнала с единичной энергией можно записать

. (1.3.42)

Следовательно, - наибольшая ошибка отображения в отношению к .

Отсюда прямо вытекает схема реализации представления сигнала с помощью имеющихся конкретных устройств. Мы хотим представить сигнал точкой в пространстве натянутом на . Но реально можно только вычислить скалярные произведения , где - базис в . Тогда применяя теорему об ортогональном проектировании можно получить

, (1.3.43)

где , .

Анализатор формы сигнала должен содержать, таким образом, звенья, реализующие заданные линейные функционалы, и блок взвешенного суммирования, описываемый матрицей с элементами из (1.3.43). Такая схема показана на рис. 1.12.

Рис. 1.13 иллюстрирует процедуру. Вначале находится ортогональная проекция на , которая представлена -мерным вектором :

.

Затем полученная точка проектируется ортогонально на .

Оценки получаются при умножении матрицы на вектор

. (1.3.44)

Рис. 1.11. Модификация заданного анализатора для получения желаемого разложения сигнала.

Если , то обе проекции совпадают, следовательно, искомое разложение в точности соответствует желаемому.

Пусть - сигнал, ограниченный по длительности в интервале и имеется переключатель, позволяющий снимать значения сигнала в указанном интервале в отдельных промежутках времени (рис. 1.13). Предположим, что мы хотим измерить коэффициенты разложения сигнала в ряд Фурье на отрезке . Следовательно,

(1.3.45)

есть искомое разложение.

Базисные функции имеют вид

, . (1.3.46)

Полагая, что ползунок переключателя в каждый момент времени касается только одного контакта и что время между касаниями равно нулю, примем в качестве базисной ортогональную систему прямоугольных функций

,

где

(1.3.47)

Взаимный базис для будет

. (1.3.48)

С помощью матрицы , где , найдем приближенное преобразование выборочных значений в коэффициенты Фурье :

, (1.3.49)

где

. (1.3.50)

Здесь мы получили комплексные весовые коэффициенты, которые физически не реализуемы, поэтому вместо них определим действительную и мнимую части , т.е. представим тригонометрическим рядом

. (1.3.51)

Коэффициенты и определяются весовым суммированием через коэффициенты :

, ,

.

В матричном виде это можно представить как матрицы (для коэффициентов) и (для коэффициентов) размером , которые получаются из действительной и мнимой частей матрицы

,

, (1.3.52)

.

Определим теперь точность, с которой отдельные коэффициенты Фурье могут быть найдены. При этом будем предполагать, что переключатель, сумматор и интегратор идеальны.

Учитывая, что и что и - взаимные базисы, можно записать

Пусть, например, нужно обеспечить . Каково должно быть для заданного ?

,

откуда (через разложение в ряд по степеням ).

Рассмотрим также, что будет, если время нахождения переключателя уменьшить вдвое, а количество контактов и скорость переключателя сохранятся. Повторив выкладки, получим

.

Это объясняется тем, что могут встречаться сигналы, изменения которых сконцентрированы в тех отрезках времени, когда переключатель не находится ни на одном контакте.