1.5 Связи и их реакции

Рассматриваемые в механике тела могут быть свободными и несвободными. Свободным называют тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения в пространстве в любом направлении. Если же тело связано с другими телами, которые ограничивают его движение в одном или нескольких направлениях, то оно является несвободным. Тела, которые ограничивают движение рассматриваемого тела, называют связями.

При взаимодействии между телом и его связями возникают силы, противодействующие возможным движениям тела. Эти силы действуют на тело со стороны связей и называются реакциями связей.

Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Существование реакций обосновывается аксиомой о действии и противодействии. Для определения реакций связей используют принцип освобождения от связей. Не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменив ее реакцией. Определение реакций связей является одной из наиболее важных задач статики. Ниже приведены наиболее распространенные виды связей, встречающиеся в задачах:

1. Связь в виде гладкой (т. е. без трения) плоскости или поверхности. В этом случае реакция связи всегда направлена по нормали к опорной поверхности.

2. Связь в виде контакта цилиндрической или шаровой поверхности с плоскостью. В этом случае реакция связи направлена также по нормали к опорной поверхности.

3. Cвязь в виде шероховатой плоскости. Здесь возникают две составляющие реакции: нормальная Rn, перпендикулярная плоскости, и касательная Rt, лежащая в плоскости. Касательная реакция Rt называется силой трения и всегда направлена в сторону, противоположную действительному или возможному движению тела.  Полная реакция R, равная геометрической сумме нормальной и касательной составляющих R=Rn+Rt, отклоняется от нормали к опорной поверхности на некоторый угол р. При взаимодействии тела с реальными связями возникают силы трения. Однако во многих случаях силы трения незначительны и вследствие этого ими часто пренебрегают.

4. Гибкая связь, осуществляемая веревкой, тросом, цепью и т. п. (рис.6,г). Реакции гибких связей направлены вдоль связей, причем гибкая связь может работать только на растяжение.

5. Связь в виде жесткого прямого стержня с шарнирным закреплением концов. Здесь реакции всегда направлены вдоль осей стержней. Стержни при этом могут быть как растянутыми, так и сжатыми.

6. Связь, осуществляемая ребром двугранного угла или точечной опорой. Реакция такой связи направлена перпендикулярно поверхности опирающегося тела.

1.6 Статика (формулы)

Равнодействующая двух пересекающихся сил– ;

диагональ параллелограмма .

Равнодействующая сходящихся сил .

Проекции силы на оси координат (для плоской системы сил): F_x=Fcos; F_y=Fcos. Модуль силы: ; направляющие косинусы:

разложение на составляющие: ,

Для пространственной системы: ,

F_x=Fcos; F_y=Fcos; F_z=Fcos; ; .

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: R_x=F_ix; R_y=F_iy; R_z=F_iz; .

Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое: , аналитические: F_ix=0; F_iy=0; F_iz=0.

Условие равновесия пар сил: .

Момент силы относительно точки: – векторное произведение.

Модуль векторного произведения: RFsin= Fh.

Плоская система сил: Fh, >0 – против час.стр.; <0 – по час.стр.

=(yF_z – zF_y) +(zF_x – xF_z) +(xF_y – yF_x) , проекции момента силы на оси координат: М_0x( )=yF_z – zF_y; М_0y( )=zF_x – xF_z; М_0z( )=xF_y – yF_x.

Условия равновесия пл. сист. сил: аналитич.: , или , А,В,С – точки не на одной прямой, или , ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ.

Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): .

Сила трения скольжения: . tg_сц=f_сц; tg_тр=f. М_тр= f_kN – момент трения качения.

Момент силы относительно оси: .

Моменты силы относительно осей координат: М_x( )=yF_z – zF_y; М_y( )=zF_x – xF_z; М_z( )=xF_y – yF_x.

Статические инварианты: 1-ый – квадрат модуля главного вектора: I₁= F_o²= F_x²+F_y²+F_z²; 2-ой – скалярное произв. главного вектора на гл. момент:I₂= =F_xM_x+F_yM_y+F_zM_z.

Проекция гл. момента на направление гл. вектора . М_min=M^*

Главный вектор и главный момент ,

уравнения центральной оси: .

Условия равновесия простр. сист.сил: F_kx=0; F_ky=0; F_kz=0; M_x(F_k)=0; M_y(F_k)=0; M_z(F_k)=0.

Условия равновесия для системы параллельных сил (||z): F_kz=0; M_x(F_k)=0; M_y(F_k)=0. Координаты центра ||-ых сил: .

Координаты центра тяжести: ; ; где Р=р_k.

Центр тяжести плоской фигуры: , .

Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2: ; кругового сектора: .

Статический момент площади плоской фигуры – S_x=y_iF_i= Fy_c; S_y=x_iF_i= Fx_c.

Объем тела вращения V=2x_cF; площадь поверхности вращения F=2x_cL.

Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью: .