Указания к решению

Из математического анализа известно, что если величина является функцией нескольких переменных Y = f(x_1, x_2, …), то абсолютная погрешность величины «у» определяется по формуле

где x₁, x₂  абсолютные погрешности прямых измерений;  значения частных производных от функции по соответствующему аргументу.

После нахождения абсолютной погрешности косвенного измерения можно вычислить относительную погрешность косвенного измерения по формуле

где у - искомая величина, определяемая по расчетной формуле.

Вопросы для контроля

1. Что такое погрешность измерений и ее виды?

2. Что такое систематические и случайные погрешности?

3. Как определить предельные погрешности?

4. В чем заключается определение систематической погрешностей косвенных измерений?

5. В чем заключается определение случайной погрешности косвенных измерений?

Задача 16 Определение доверительных границ для истинных значений величин

Условие. Определить доверительные границы и относительную погрешность косвенного измерения, если известны расчетная формула, значения величин, входящих в формулу, систематические погрешности прямых измерений этих величин и средние квадратические отклонения. Данные, необходимые для расчета, приведены в табл. 16.1 и табл. 16.2.

Указания к решению

Доверительные границы для истинных значений величин определяются как Y = (X ± t_p∙σ_y),

где X – значение величины; t_p – Коэффициент (квантиль нормального распределения) Стьюдента, который зависит от заданной вероятности и числа наблюдений; σ_y – среднее квадратическое отклонение действительных значений величины.

Таблица 16.1

Вариант	Расчетная формула	Значения величин		Систематическая погрешность	Среднее квадратическое отклонение		Вероятность		Коэффициент Стьюдента
1	R = U/I	U = 100 В	I = 2 А	ΔR = 2 Ом	σU = 0,5 B	σI = 0,05 A		p = 0,95		tp = 1,96
2		U = 200 В	I = 2 А	ΔR = 2 Ом	σU = 1 B	σI = 0,08 A		p = 0,9		tp = 1,64
3		U = 240 В	I = 1 А	ΔR = 3 Ом	σU = 0,6 B	σI = 0,01 A		p = 0,98		tp = 2,33
4		U = 360 В	I = 3 А	ΔR = 3 Ом	σU = 2 B	σI = 0,03 A		p = 0,99		tp = 2,58
5		U = 150 В	I = 2 А	ΔR = 1 Ом	σU = 0,5 B	σI = 0,04 A		p = 0,9		tp = 1,64
6	P = U∙I	U = 220 В	I = 5 А	ΔP = 10 Вт	σU = 1 B	σI = 0,04 A		p = 0,99		tp = 2,58
7		U = 100 В	I = 2 А	ΔP = 2 Вт	σU = 0,5 B	σI = 0,02 A		p = 0,95		tp = 1,96
8		U = 240 В	I = 2 А	ΔP = 1 Вт	σU = 0,8 B	σI = 0,05 A		p = 0,9		tp = 1,64
9		U = 360 В	I = 5 А	ΔP = 8 Вт	σU = 1,5 B	σI = 0,04 A		p = 0,98		tp = 2,33
112 10		U = 180 В	I = 2,5 А	ΔP = 1,5 Вт	σU = 0,6 B	σI = 0,03 A		p = 0,99		tp = 2,58
11	U = P/I	P = 1200 Вт	I = 10 А	ΔU = 1,5 B	σP = 1,2 B	σI = 0,04 A		p = 0,95		tp = 1,96
12		P = 1500 Вт	I = 12 А	ΔU = 2 B	σP = 2,2 B	σI = 0,3 A		p = 0,9		tp = 1,64
13		P = 2000 Вт	I = 8 А	ΔU = 2,5 B	σP = 2,5 B	σI = 0,06 A		p = 0,98		tp = 2,33
14		P = 2100 Вт	I = 7 А	ΔU = 3 B	σP = 3 B	σI = 0,05 A		p = 0,99		tp = 2,58
15		P = 3600 Вт	I = 15 А	ΔU = 5 B	σP = 4 B	σI = 0,08 A		p = 0,998		tp = 3,09
16	I = U/R	U = 220 В	R = 100 Ом	ΔI = 0,1 A	σU = 3 B	σR = 1 Ом		p = 0,99		tp = 2,58
17		U = 360 В	R = 120 Ом	ΔI = 0,2 A	σU = 4 B	σR = 2 Ом		p = 0,95		tp = 1,96
18		U = 180 В	R = 80 Ом	ΔI = 0,3 A	σU = 2 B	σR = 0,5 Ом		p = 0,95		tp = 1,96
19		U = 700 В	R = 200 Ом	ΔI = 0,5 A	σU = 5 B	σR = 3 Ом		p = 0,98		tp = 2,33
20		U = 500 В	R = 125 Ом	ΔI = 0,4 A	σU = 3 B	σR = 2 Ом		p = 0,998		tp = 3,09

Примечание. В формулах приняты обозначения: U – напряжение; I – ток; R – сопротивление; P – мощность.

Таблица 16.2

Вариант

Расчетная формула

Значения величин

Систематическая погрешность

Среднее квадратическое отклонение

Вероятность

Коэффициент Стьюдента

21

I = P/U

P = 1000 Вт

U = 100 В

ΔI = 0,5 A

σP = 1 Bт

σU = 0,5 B

p = 0,95

tp = 1,96

22

P = 800 Вт

U = 80 В

ΔI = 0,6 A

σP = 0,8 Bт

σU = 0,2 B

p = 0,9

tp = 1,64

23

P = 1200 Вт

U = 120 В

ΔI = 0,8 A

σP = 2 Bт

σU = 2 B

p = 0,98

tp = 2,33

24

P = 1800 Вт

U = 180 В

ΔI = 1 A

σP = 1,2 Bт

σU = 0,8 B

p = 0,99

tp = 2,58

25

P = 2000 Вт

U = 200 В

ΔI = 1 A

σP = 1,5 Bт

σU = 1 B

p = 0,998

tp = 3,09

26

F = m∙a

m = 100 кг

а = 2 м/с2

ΔF = 5 H

σm = 0,5 кг

σa = 0,01 м/с2

p = 0,966

tp = 2,12

27

m = 150 кг

а = 3 м/с2

ΔF = 4 H

σm = 0,8 кг

σa = 0,02 м/с2

р = 0,9

tp = 1,64

28

m = 80 кг

а = 4 м/с2

ΔF = 3 H

σm = 0,4 кг

σa = 0,05 м/с2

p = 0,95

tp = 1,96

29

m = 200 кг

а = 1,5 м/с2

ΔF = 2 H

σm = 0,3 кг

σa = 0,03 м/с2

p = 0,98

tp = 2,33

30

m = 320 кг

а = 2,5 м/с2

ΔF = 3,5 H

σm = 0,5 кг

σa = 0,04 м/с2

p = 0,99

tp = 2,58

113 31

σ = 4F/(πd2)

F = 903 H

d = 10 мм

Δσ = 0,5 H/мм2

σF = 3 H

σd = 0,05 мм

p = 0,95

tp = 1,96

32

F = 1050 H

d = 15 мм

Δσ = 1 H/мм2

σF = 3,5 H

σd = 0,07 мм

p = 0,998

tp = 3,09

33

F = 800 H

d = 12 мм

Δσ = 0,9 H/мм2

σF = 2 H

σd = 0,04 мм

p = 0,966

tp = 2,12

34

F = 920 H

d = 14 мм

Δσ = 0,8 H/мм2

σF = 2,8 H

σd = 0,06 мм

p = 0,9

tp = 1,64

35

F = 1000 H

d = 20 мм

Δσ = 0,8 H/мм2

σF = 4 H

σd = 0,03 мм

p = 0,99

tp = 2,58

36

F = T/l

T = 200 Нм

l = 100 Ом

ΔF = 10 Н

σT = 3 Нм

σl = 1 мм

p = 0,99

tp = 2,58

37

T = 300 Нм

l = 120 Ом

ΔF = 20 Н

σT = 4 Нм

σl = 2 мм

p = 0,95

tp = 1,96

38

T = 280 Нм

l = 80 Ом

ΔF = 3 Н

σT = 2 Нм

σl = 0,5 мм

p = 0,95

tp = 1,96

39

T = 700 Нм

l = 200 Ом

ΔF = 5 Н

σT = 5 Нм

σl = 3 мм

p = 0,98

tp = 2,33

40

T = 500 Нм

l = 125 Ом

ΔF = 4 Н

σT = 3 Нм

σl = 2 мм

p = 0,998

tp = 3,09

Примечание. В формулах приняты обозначения: U – напряжение; I – ток; P – мощность; F – сила; d – диаметр; Т – момент; l – длина; m – масса; V – скорость; а – ускорение; σ – напряжение.

Для случайных погрешностей (когда отдельные составляющие не всегда принимают предельные значения) используются теоремы теории вероятностей о дисперсии, то есть

.

Систематическая погрешность всегда имеет знак отклонения, т. е. (+) или (–). Систематическая погрешность может быть исключена введением поправки, т. е. величины, равной систематической погрешности, но с противоположным ей знаком.