Особенности размещения обслуживающих центров с учетом экономической эффективности
Задача о p-медиане возникает во многих прикладных задачах, связанных с размещением обслуживающих центров, например, размещение предприятий бытового обслуживания, складов, пунктов автосервиса на дорогах, коммутаторов в телефонной сети и др.
В этой задаче не учитываются стоимость на открытие обслуживающих предприятий, и есть ограничение на число предприятий, которые могут быть открыты. Задача о p-медиане принадлежит классу NP – трудных в сильном смысле задач, поэтому все точные алгоритмы решают её за экспоненциальное время. Запишем постановку задачи в виде задачи ЦЛП (целочисленного линейного программирования).
Условие: Заданы множества I = {1,…,m} потенциальных мест размещения центров, множество J={1,…,n} клиентов и mxn матрица (Di,j) целых положительных затрат на обслуживание j-го клиента i-м центром, целые положительные веса w(j) каждого клиента.
Вопрос: Разместить p обслуживающих центров из множества I таким образом, чтобы минимизировать суммарные транспортные затраты на обслуживание всех клиентов, при условии, что клиент обслуживается ближайшим к нему предприятием (1.1):
(1.1)
Эту задачу можно интерпретировать следующим образом. Имеется n клиентов, у каждого клиента есть потребность, которая выражается целым количеством грузовиков. Известна стоимость проезда одного грузовика от любого места возможного расположения склада до любого клиента.
Требуется разместить p складов таким образом, чтобы суммарные транспортные расходы были минимальны.
Сетевая постановка задачи. (Орграф называется сильно связным, если любые две его вершины сильно связны. Две вершины u и v сильно связаны, если существует ориентированный путь из u в v и оринетрированный путь из v в u.). Сеть будет представлена сильносвязным ориентированным нагруженным графом с целыми положительными весами дуг; вершинам будут приписаны целые положительные веса. В вершинах графа будут находится склады и клиенты; веса дуг – транспортные затраты; веса вершин – потребности клиентов.
Математическая
постановка задачи. Условие:
Заданы сильносвязный орграф G=<V,E>,
множество V’
V
потенциальных мест размещения центров,
целый неотрицательный вес w(v)
каждой вершины v
V,
целая неотрицательная длина A(e)
каждой дуги e
E,
положительное целое
число B.
Вопрос: Существует ли такое множество P мощности p, состоящее из вершин множества V` такое что, если D(v) – длина кратчайшего пути к вершине v от ближайшей к ней вершине из P, то (1.2)
(1.2)
Данная задача NP-трудна в сильном смысле, поэтому в случае большой размерности ее решают с различными приближенными и эвристическими алгоритмами. Наиболее популярным методом её решения является метод локального поиска.
В настоящее время нет программного обеспечения для автоматизации планирования размещения обслуживающих центров с минимизацией числа центров. Учитывая увеличение сетей магазинов им нужно данное ПО, чтобы расположить склады с товарами так, чтобы сократить затраты на транспортные расходы на обслуживание каждого магазина определенной сети.