7.6.Принцип Архимеда

Теорема 7.6(1)

Каково бы ни было действительное число а, существует такое натуральное число n, что

n > а.

Доказательство

Если бы утверждение теоремы не имело места, то нашлось бы такое число а, что для всех натуральных чисел n выполнялось бы неравенство n≤а, т. е. множество натуральных чисел N было бы ограничено сверху. Тогда существовала бы конечная верхняя грань:

Поскольку β — 1 < β, то в силу определения верхней грани (найдется такое натуральное число n, что n > β — 1, т. е. n + 1 > β, но n + 1 — также натуральное число: /, поэтому данное неравенство противоречит условию существования верхней грани.

Теорема 7.6(2). Принцип Архимеда

Для любых чисел а и b таких, что 0 < а < b, существует натуральное число n, для которого выполняется неравенство na>b (см. рис.7.6)

Рис. 7.6(1)

Доказательство

Действительно, согласно теореме 7.6(1) для числа b/a существует такое натуральное число n что n> b/а, откуда сразу и следует утверждение теоремы

Теорема 7.6(3) Усиленный принцип Архимеда

Для произвольного х и произвольного положительного a существует единственное целое число n такое, что na≤x<(n+1)a

Доказательство

1. Докажем существование

Случай х≥0

Построим искомое n.

Из принципа Архимеда следует, что существует такое число n, что na>b. Рассмотрим множество таких чисел E и выберем в нем наименьший элемент n₀ . (n₀ – 1) не принадлежит Е, т.е. (n₀ – 1)а ≤ х, n₀ принадлежит Е, соответственно, х < n₀ ·a.

Требуемое n = n₀ – 1

Случай x < 0 доказывается аналогично заменой переменной : х*= -х > 0

2. Докажем единственность

Пусть существуют два разных числа k и n (пусть k<n), различные, целые, удовлетворяющих искомому неравенству

kΔ≤x<(k+1)Δ

nΔ≤x<(n+1)Δ

k<n, тогда k+1 ≤ n, откуда x<(k+1)Δ ≤ nΔ, откуда x<nΔ, что противоречит условию

Замечание 7.6

Пусть а=1, тогда для любого действительного х существует единственное целое n такое, что n≤ x< n+1.

n=[x] называется целой частью вещественного числа х (см график соответствующей функции на рис. 7.6(1)

{x} = х – [x] называется дробной частью вещественного числа х (график см. на рис.7.6(2))

Рис.7.6(1) Рис. 7.6(2)