Лекция № 6

Аспан механикасы негіздері. Планеталардың қозғалыс заңдарынан кейін мұндай қозғалыстың себебі не деген сұрақ тұрады. Бұл сұрақты шешу алдымен денелердің қозғалыс заңдарын зерттеуді талап етеді. Аспан денелерінің қозғалысын қарастыратын ғылым аспан механикасы деп аталады. Ол Ньютонның ауырлық тартылыс заңына негізделген. Кеплер заңдары осы заңның салдарлары болып табылады.

Ньютонның бүкіл әлемдік тартылыс заңы 1687 жылы жарық көрді.

Ньютон өзінің алдына мынадай сұрақ қойып, оны геометриялық жолмен шешті. Планета бір фокусында Күн орналасқан эллипстік орбита бойымен қозғалады, Күн тарапынан планетаға әсер ететін, эллипс фокусына қарай бағытталған центрге тартқыш күш заңын анықтау қажет.

Бұл есептің шешімі мынада:

Планетаға түсірілген күш орталық күш деп есептеледі. Кеплердің екінші заңынан планетаның сектролық жылдамдығы тұрақты:

r -планетаның гелиоцентрлік радиус-векторы, Ө-нақты аномалия.

Бұл формуланы мына түрде жазуға болады:

Бұдан сол планетаның Күнге қатысты импульс моментінің модулі:

Кеплердің бірінші заңы бойынша планета орбитасы жазық қисық, олай болса импульс моменті шамасы бойынша ғана емес, бағыты бойынша да тұрақты.

Импульс моменті теоремасы бойынша

Бұдан планетаның қозғалысы кезінде барлық уақытта және векторлары колениарлы, яғни күшінің әсер ету түзуі орталық дене (Күн) арқылы өтеді, яғни күш орталық күш.

Осы күштің шамасын анықтау үшін кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теоремасын қолданамыз:

Мұндағы m-планета массасы, v-оның жылдамдығы, -гелиоцентрлік радиус-векторы, -Күн тарапынан планетаға әсер ететін күш. Осы теңдеуді шеше отырып, F-тың мынадай мәнін аламыз

к - пропорционалдық коэффициент.

Күнге планеталардың тарапынан әсер ететін күшінің шамасы:

Мұндағы М-Күннің массасы, - планетаға тән пропорционалдық коэффициент.

Ньютонның үшінші заңына сәйкес

G - гравитациялық тұрақты деп аталады.

Кез келген екі материялық бөлшек олардың массаларына тура пропорционал, ара қашықтығының квадратына кері пропорционал күшпен бір-біріне тартылады.

Екі дене есебі. Табиғи және жасанды аспан денелерінң ілгерілемелі қозғалысының негізгі заңдылықтарын өзара тартылыс күші әсерінен болатын екі дене қозғалысын зерттеу нәтижесінде алуға болады.

Егер екі дененің массасы өзара бірдей болатын болса, онда мұндай есеп жалпы екі дене есебі деп аталады, ал егер бір дененің массасын ескермеуге болатындай болса, онда шектелген екі дене есебі деп аталады.

Практикада бір нүктенің қозғалысын координата басы басқа бір нүктедегі системаға қатысты қарастырған жеткілікті. Сондықтан Sхуz системасын аламыз, оның осьтерінің бағыты өзгермейді, және басы массасы М тартатын S нүктесінде орналасқан болсын. Классикалық механика заңы бойынша m массалы екінші Р нүктесі үшін Ньютонның теңдеуі былай жазылады:

Мұндағы -Р нүктесіндегі салыстырмалы үдеуі, -Ньютонның тартылыс күші, -қандай да бір инерциалды санақ жүйесіне қатысты Sхуz системасының үдемелі ілгерілемелі қозғалысынан болатын инерция күші.

Ньютонның тартылыс заңы бойынша

Бұл күштің бағыты - бірлік векторы арқылы өрнектеледі.

S нүктесіне қарама-қарсы бағытталған F күші әсер етеді

Онда координата системасының ілгерілемелі қозғалыс үдеуі . Осы үдеуді Р нүктесінің m массасына көбейтіп инерция күшін анықтаймыз:

Енді табылған және күштерінің мәнін орнына қойып,

(1) аламыз.

Мұндағы

Шектеулі екі дене есебінде m<<M, олай болса

Кеплердің жалпы заңдары. Мына

(1)

теңдеудің шешімінен шығатын негізгі салдарларды қарастырамыз.

Дифференциялдық (1) теңдеудің мынадай интегралдары бар:

1) Аудан интегралы

(2)

С-импульс моментінің тұрақты векторы. С тұрақты болғандықтан дене орбитасы жазық қисық болады. Егер осы жазықтықта полярлық r және θ координаталарын енгізсек, онда аудан интегралын мына түрде жазуға болады:

(3)

Бұдан Кеплердің екінші заңы шығады.

2)Энергия интегралы

Қозғалыс теңдеуінен (1) энергияның сақталу заңы шығады:

Мұндағы һ-қозғалыстағы дене массасына бөлінген толық механикалық энергияға тең, тұрақты.

Жалпы түрде орбита теңдеуі (яғни (1) теңдеуінің шешімі)

(4)

Мұндағы е-эксцентриситет,θ-нақты аномалия.

Эксцентриситеттің шамасы толық энергия мәнімен анықталады және мынаған тең

(5)

h-қозғалыстағы дене массасына бөлінген толық механикалық энергия.

Фокальдық параметр (6)

(5) өрнектен траектоияның 3 түрі болатындығы көрінеді.

1)0<e<1 (h<0) немесе (е=0 шеңбер)

2) e=1 (h=0) парабола

3)e>1 (h>0) гипербола

(4) формула Кеплердің жалпы бірінші заңының аналитикалық түрін анықтайды.

Кеплердің үшінші жалпы заңы. Эллипстік қозғалыс үшін сидерлік Т период пен α үлкен ось арасындағы байланысты табуға болады.

Эллипстің ауданы

, бұны радиус-вектор Т уақытта сызады. (3) формуладан .

Екінші жағынан (6) теңдеуден . Бұларды теңестіріп

аламыз.

Бұл Кеплердің үшінші жалпы заңы.

Егер М₁ – Күннің массасы, m - күнді айнала қозғалатын планета массасы болса, ал М₂ басқа бір системадағы планета массасы, ал m оның серігінің массасы болса, онда

егер m₁<<M₁ , m₂<<M₂ болса, онда

Кеплердің үшінші заңы.

Нептунның ашылуы. 1781 жылы аспан механикасының ең үлкен жетістігі Нептун планетасының ашылуы болып табылады. Уран деп аталған, бұрын жүздеген жылдар бойы жұлдыз деп есептеліп келген, жаңа үлкен планетаны ағылшын астрономы У.Гершель ашты. Уран координаталары бойынша орбитасын есептегенде оның қозғалысы барлық қозуларды есепке алғанның өзінде кеплерлік қозғалыстан ауытқитындығы анықталды. Бұндай ауытқушылықты түсіндіру үшін осы ауытқушылықты болдыратын тағы да бір белгісіз бір планета бар деген ұсыныс жасалынып, астрономия алдында Уран қозғалысындағы қозу бойынша қоздырушы планета координаттарын анықтау қажеттігі мәселесі туындады. Бұл күрделі математикалық есепті бір мезгілде бір-біріне байланыссыз француз оқымыстысы Леверье мен ағылшын ғалымы Адамс шешті. 1846 жылы 23 қыркүйекте неміс астрономы Галле бұл планетаны Леверрье өзінің есептеуі бойынша көрсеткен аспан нүктесінен 1⁰ –қа жуық қашықтықта тапты. Жаңа планета Нептун деп аталды. Нептунның ашылуы, Энгельстің айтуынша «қалам ұшымен» ашылған, Ньютонның бүкіл әлемдік тартылыс заңының дұрыстығының сенімді дәлелдемесі болып табылды

Тасу және қайту. Жер абсолют қатты дене емес, сондықтан жер бетінің кейбір

бөліктеріне Ай және Күн тарапынан қоздырушы күштер әсері тасу және қайту деп

аталатын құбылыстың пайда болуына әкеледі.

Бұл құбылысты былай түсіндіруге болады. Жер беті су қабатымен (мұхитпен) біркелкі жабылған болсын делік. Ай центрі арқылы өтетін Жер диаметрінде жатқан А және В нүктелеріндегі су бөлшектерін қарастырамыз. Қатты Жер центрінің Т гравитациялық үдеуі

Мұндағы m – Ай массасы, r- Ай центрінің Жер центрінен қашықтығы. А нүктесіндегі мұхит суы үдеуі ω_Т -дан үлкен, ал В нүктесінде ω_Т -дан кіші, яғни

;

Мұндағы R-жер радиусы.

Жер центріне қатысты салыстырмалы үдеу

немесе ;

Жер радиусы R<< r болғандықтан бөлшек алымындағы R-ты және бөліміндегі ( r-R)-дегі R-ді ескермесек, онда

аламыз.

Бұл үдеу айырмасы Жер центірінен бағытталған, себебі ω_А > ω_А. В нүктесіндегі үдеу айырмасы ω_В - ω_Т шамасы да дәл осындай және бағыты да ω_В< ω_Т болғандықтан Жер центрінен бағытталған. Сондықтан А және В нүктелерінде Айдың әсері Жер бетіндегі ауырлық күшін азайтады.

Ғ және D нүктелерінде Айдан алатын ω_F және ω_D үдеулері Т нүктесіндегі үдеуге қарама-қарсы үдеуге доғал бұрыш жасай бағытталған, ал тең әсерлі күш Жер центріне қарай бағытталады. Сондықтан Ғ және D нүктелерінде Айдың әсерінен Жердің тартылыс күші артады.

Ғ және А, А және D аралығындағы нүктелерде тең әсерлі үдеу А нүктесіне қарай, ал Ғжәне В, В жәнеD аралығында В нүктесіне қарай бағытталған. Егер осы тең әсерлі күштерді радиус және жанама бағытымен жіктейтін болсақ, онда аралық нүктелерде жердің тартылыс күштерінің аздаған күшейуі немесе әлсіреуі болады. Әсіресе Жердің бір жағында (ҒВD) В нүктесіне бағытталған үдеу ерекше. Осы үдеулердің әсерінен мұхит сулары Жердің бір жартысында Ай зенитте тұрған нүктесіне, ал екінші жартысында Ай надриде түратын нүктесіне ұмтылады.

С ондықтан, Айдың тартылыс әсерінен Жердің су қабықшасы эллипсоид пішініне келеді де, А және В нүктелері маңайында тасу, ал Ғ және D нүктелері маңайында қайту болады.

Жердің өз осінен айналысы салдарынан тасу биіктіктері әрбір келесі уақыт мезеттерінде жер бетінің жаңа нүктелерінде пайда болады. Сондықтан екі тізбектес Айдың жоғарғы (немесе төменгі) кульминация (жуықтап 24^сағ52^м тең) уақыт аралығында тасу төмпешігі жер шарын айналып шығады және әрбір орында осы уақыт ішінде екі рет тасу және екі рет қайту болады.

Күннің тартылысынан да Жер су қабықшасы қайту және тасуға ұшырайды. Бірақ күндік тасу айлық тасудан 2,2 есе аз. Күннің тасу болдыратын күш үдеуі

мұндағы M₀ - Күн массасы, а- Жердің Күннен қашықтығы.

Айдың тасу болдыратын күш үдеуін осы үдеуге бөлік

аламыз.

Мұнда M₀ =333000М_Т, m= , М_Т, а=390 r, М_Т –Жер массасы.

Күндік тасу жеке байқалмайды, олар тек айлық тасу шамасын өзгертеді.

Жаңа ай және толық ай кезінде айлық және күндік тасу бір мезгілде болады да Айдың және Күннің әсері қосылады, және ең үлкен тасу болады. Бірінші және соңғы ширек кезінде (квадратура д. а) айлық тасу мезетіне күндік қайту болады да, Күн әсері Ай әсерінен алынады, ең аз тасу байқалады.

Шындығында тасу және қайту құбылыстары әлдеқайда күрделі. Жер барлық жерінде мұхитпен жабылмаған, тасу толқыны (тасу төмпешігі) мұхит бетімен жүгіре отырып материктердің кұрделі жағалау сызықтарына, әртүрлі пішінді теңіз түбінде кездеседі және үйкеліске ұшырайды. Осы айтқан себептерден тасу болу мезеті Айдың кульминация мезетімен сәйкес келмейді де, бір сағат кейде одан да көп уақыт аралығына кешігеді. Осы уақыт аралығын қолданбалы сағат деп атайды. Тасу биіктіктері әр жерде әртүрлі болады, бірнеше метрден, кейбір жерлерде 10-16 метрге дейін болады.

Тасу құбылысы жер қойнауында да болады. Тасу амплитудасы жер қойнауында бірнеше ондаған сантиметрді құрайды. Сонымен қатар Жер атмосфера қабатында да тасу құбылысы болады.

Тасу үйкелісі Жер айналымын баяулатады, бұл жердің тәулік ұзақтығын жүз жылда 0^с, 0014-қа арттырады.

Жер тарапынан Айда да тасу болады. Айда тасу үдеуі Жердегіден 20 есе үлкен. Тасу әсерінен Айдың Жерге қараған жағы аздап созылынқы.