1.3. Напряженность поля как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности

Как отмечалось выше, электростатическое поле характеризуется силовой характеристикой – напряженностью и энергетической характеристикой – потенциалом .

Найдем взаимосвязь между этими характеристиками. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля вдоль оси при условии их близкого расположения равна . Эта же работа выражается через разность потенциалов . Приравнивая эти выражения, получаем:

, (17)

где частная производная обозначает, что дифференцирование производится по переменной . Повторим аналогично для осей , тогда вектор напряженности может быть записан:

, (18)

где  единичные векторы координатных осей . Из определения следует, что

или , (19)

то есть напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала со знаком минус.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используются эквипотенциальные поверхности – поверхности, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.

Потенциал поля, создаваемого точечными зарядом, равен . Эквипотенциальные поверхности в данном случае представляют концентрические сферы. Линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Обычно эквипотенциальные поверхности вокруг заряда или системы зарядов проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы, это наглядно характеризует напряженность поля в разных точках.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Так как работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю, то электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормали к эквипотенциальным поверхностям. Значит, вектор всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности, и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля.

2. Общая задача электростатики

Прямая задача электростатики состоит в определении напряженности электростатического поля по заданному распределению заряда.

Напряженность поля в диэлектрике может быть найдена путем определения потенциала и его последующего дифференцирования согласно выражению (17): .

В обратной задаче электростатики требуется найти распределение объемных и поверхностных зарядов по известному полю .

В реальных случаях чаще всего встречаются задачи, которые не сводятся либо к прямой, либо к обратной задачам электростатики.

Общая задача электростатики формулируется следующим образом:

В диэлектрической среде заданы расположение и форма проводников, объемная плотность свободных электрических зарядов и диэлектрическая проницаемость . Также известны либо потенциалы всех проводников, либо заряды всех проводников, либо заряды ряда проводников и потенциалы остальных проводников.

Необходимо определить напряженность электрического поля во всех точках пространства и распределение электричества по поверхности проводников.

Задача сводится к нахождению потенциала как функции пространственных координат . Находим дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта функция. Записываем теорему Гаусса в виде и подставляем ее в выражение (9), получаем:

(20)

или в координатной форме:

. (21)

Если диэлектрик однороден ( не зависит от координат), то

(22)

или

. (23)

Если ввести оператор Лапласа

, (24)

то уравнение (21) пишется в виде:

(25)

и называется уравнением Пуассона.

При отсутствии свободных зарядов ( ) это уравнение переходит в уравнение Лапласа. Общая задача электростатики сводится к решению дифференциального уравнения Лапласа, удовлетворяющего определенным условиям конкретной задачи. Непосредственное решение уравнения Лапласа для ряда практических случаев представляет собой значительные математические сложности. При этом предпочитают использовать экспериментальные методы, наиболее распространенным из которых является метод электролитической ванны.