К теме 27. Задачи динамики в сопротивлении материалов

Литература: [1, гл. XIII]; [6, § 2.30].

1. Как произвести расчет на прочность тонкостенного вращающегося кольца? 2. Как определить напряжения и перемещения, возникающие при ударном действии нагрузки? 3. Как определяется динамический коэффициент, если вы­сота падения ударяющего тела значительно больше статического перемещения бруса в точке удара?

Решить задачи: из [3] № 9.21—9.23, 9.31. 9.37, 9.42; или из [4] (вторая часть) № 252—254, 263, 266; или из [5] № ЮЛ, 10.2, 10.8, 10.12, 10.20.

Ответы

К теме 16. 9. Внутренние силы (силы упругости), возникающие в попе­речном сечении нагруженного бруса, могут быть заменены их статическим эквивалентом — главным вектором и главным моментом. Если последние раз­ложить по осям координат (рис. 29), то получим шесть составляющих с общим

названием „внутренние силовые факторы": N_z — продольная сила, Q_x и Q_y — поперечные силы, M_z — крутящий момент, М_х и М_у — изгибающие моменты. 10. a) N_Z = F; 6)N_Z = F и М_х = = F * h/2; в) N_Z = F, M_X = F*h/2 и М_у = F*b/2; r) Q_y = F, M_x = Fl; д) Q_V = F, M_x = Fl и M_z = F • b/2; e) M_z = Fb. 12. Нормальные напряжения— следствие возникновения продольной силы N_z или изгибающих моментов М_х и М_у, и касательные напряжения — следствие возник­новения поперечных сил Q_x, Q_y или крутящего момента M_z.

К теме 17. 6. Применяя формулу Гука ∆l = Nl/АЕ и помня, что в данном случае площадь поперечного сечения А = πd²/4, находим: а) ∆l1 = 8∆l; б) ∆l₂ = 0,5∆l. 10. Для хрупких материа­лов предел прочности σ_пч, для пластичных — предел текучести σ_т или условный предел теку­чести σ₀₂. 17. На схемах а, в и е статически определимые системы, на осталь­ных — статически неопределимые. 19. После сборки стержни I и 2 окажутся сжатыми, а стержень 3 растянутым.

К теме 19. 20. Жесткость бруса растет пропорционально четвертой сте­пени его диаметра (J_p= πd4/32), прочность — пропорционально третьей степе­ни диаметра (W_р =π d3/16). 21. Жесткость увеличится в 16 раз, а прочность лишь в восемь раз.

Методические указания к выполнению контрольной работы 2

В учебниках [1] и [2], в пособии [6], а также в задачниках [4] и [5] имеется достаточное число примеров решения задач по всем темам второго задания. В процессе изучения учебного материала, предусмотренного программой, необ­ходимо внимательно разобрать соответствующие примеры решения задач, с помощью этих примеров самостоятельно решить несколько аналогичных задач, а уже после этого приступить к решению задач контрольного задания.

Две первые задачи каждого варианта могут быть успешно решены только после усвоения тем 16 и 17. Прежде чем приступить к их решению, учащийся должен научиться безукоризненно владеть методом сечения для определения внутренних силовых факторов. Эти навыки пригодятся учащимся при выпол­нении двух последних задач второго задания, а также некоторых задач третье­го задания.

Первая задача (задачи 61—70) требует от учащегося умения строить эпю­ры продольных сил, нормальных напряжений и определять удлинение или уко­рочение бруса. Удлинение (укорочение) бруса определяется по формуле Гука

и эта часть задачи может быть решена тремя способами: 1) с помощью зако­на независимости действия сил; 2) с использованием построенной эпюры про­дольных сил; 3) с использованием построенной эпюры нормальных напря­жений.

Пусть, например, требуется определить удлинение (укорочение) ∆l двух­ступенчатого бруса, у которого длины ступеней l и l₂, а площади их попереч­ных сечений А₁ и A₂ (рис. 30) на­гружены силами F1 и F₂.

Если эпюры N и о еще не по­строены, то удлинение бруса целесо­образно определять с помощью зако­на независимости действия сил, со­гласно которому при одновременном действии на брус нескольких растя­гивающих или сжимающих сил каж­дая из них вызывает такое удлине­ние или укорочение, какое она вы­звала бы, действуя одна.

Из рис. 30 видно, что сила F1 растягивает весь брус (продольная сила, возникающая при действии только этой силы, N₁ = N1 в любом сечении бруса), и, применив приве­денную выше формулу Гука, легко определить удлинения ∆li и ∆l₂ со­ответственно верхней и нижней сту­пеней:

Сила F₂ сжимает верхнюю часть верхней ступени бруса, так как продоль­ная сила при действии этой нагрузки N₂ = -F₂ и возникает лишь на участке длиной (/₂ — а). Укорочение (отрицательное удлинение) ∆l₂, вызванное силой F₂, определяется по той же формуле Гука

И теперь полное удлинение (укорочение) бруса равно алгебраической сум­ме удлинений ∆l₁ ∆l₂ и ∆l₂.

Если построена эпюра продольных сил (эпюра N на рис. 30), то, исполь­зуя ту же формулу Гука, легко найти удлинение трех участков бруса, отме­ченных римскими цифрами:

и, сложив их, найти полное удлинение.

Если построена эпюра нормальных напряжений (эпюра σ на рис. 30), то помня, что N/A = σ, формуле Гука можно придать такой вид:

При подстановке численных значений величин в формулы необходимо пред­варительно выражать их в единицах Международной системы (СИ): нагруз­ки F и продольные силы N должны быть выражены в ньютонах (Н), длины l и а—в метрах (м), площади А — в м², модуль упругости Е— в Паскалях (Па).

Например, если на рис. 30 сила F_t = 18 кН, площадь А₁ = 2,5 см², длина lj = 500 мм, модуль упругости Е = 2 • 10⁶ МПа, то перед подстановками в фор­мулы соответственно получим: N_t = F1 18*10³ Н, l₁ — 0,5 м; А₁ = 2,5*10~⁴ м²; E = 2-10(4) Па.

И тогда удлинение

Нормальное напряжение в любом поперечном сечении нижней ступени бруса

где единица напряжения паскаль (Па) имеет размер 1 Н: 1 м², а 1 МПа= 10⁶ Па.

Вторая задача (задачи 71—80) может быть решена учащимися самостоятельно, если они будут ясно представлять смысл условия прочности при рас­тяжении (сжатии); знать, что исходя из условия прочности, можно произво­дить три вида расчетов: а) проверочный, при котором проверяется, выполнено ли условие прочности σ≤[σ] (или п≥[п]); б) определение допускаемой нагруз­ки; в) проектный, при котором определяются необходимые размеры попереч­ных сечений бруса, обеспечивающие заданную прочность. Учащиеся должны также уметь пользоваться в ходе решения всеми необходимыми формулами, расчетными зависимостями и правильно выполнять вычисления, с учетом за­мечаний, высказанных к первой задаче второго задания.

В задачах 71—80 рассматриваются статически неопределимые системы с числом неизвестных реакций связей, на единицу превышающим число урав­нений статики (уравнений равновесия), которые можно составить для этой си­стемы (задачи — один раз статически неопределимые). Поэтому при решении подобных задач рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1) брус, равновесие которого рассматривается, освободить от связей и за­менить действие связей их реакциями;

2) составить уравнение равновесия, в него войдут обе неизвестные реак­ции связей, без которых невозможно определить продольные силы, возникаю­щие в брусе или стержне (для задач 71, 73, 75, 77 и 79 —уравнение проекций всех внешних сил на ось у, совпадающую с осью бруса, а для задач 72, 74, 76, 78 и 80 — уравнение моментов относительно неподвижного шарнира, кото­рым жесткий брус прикреплен к стене);

3) рассмотреть картину деформации системы, изобразив ее на рисунке;

4) на основе рассмотрения с геометрической точки зрения картины дефор­мации составить уравнение перемещений, в которое войдут те же неизвестные реакции, что и в уравнение статики;

5) произвести в уравнении перемещений необходимые упрощения;

6) уравнение статики и уравнение перемещений решить совместно и опре­делить искомые реакции связей;

7) определить внутренние силовые факторы (продольные силы) в частях деформируемого бруса или в стержнях или же (если в задаче требуется определить допускаемую нагрузку) выразить продольные силы через искомую на­грузку;

8) завершить решение задачи, произведя заданный в ее условии расчет.

В ходе решения очень важно правильно представить себе картину деформации. В задачах 71, 73, 75, 77 и 79 сечения, в которых приложены нагрузки F, перемещаются вниз на ∆l (рис. 31), следовательно, участок бруса сечения удлинится на ∆l_удл, а участок ниже этого сечения укоротится на ∆l_ук. Значит, уравнение перемещений для этих за­дач примет вид

Значения ∆l определяются по известной формуле Гука, приведенной в указаниях к первой задаче второго задания.

Картина деформации для задач 72, 74, 76, 78 и 80 изображе­на на рис. 32, из которого легко найти геометрическую зависи­мость между удлинениями ∆l1 и ∆l2 стержней, удерживающих жесткий брус в равновесии и длинами АВ и АС частей бруса. Действительно, из подобия образовавшихся на рис. 32 тре­угольников следует, что

Третья задача контрольной работы (задачи 81 – 90) состоит в расчете вала на кручение как из условия прочности, так и из условия жесткости. Значит, к ее решению можно приступить только после изучения темы 19. Приступая к решению задачи, учащемуся необходимо знать следующее.

Из условия прочности на кручение

можно производить три вида расчетов: а) проверочный; б) определение допускаемой нагрузки на вал; в) проектный, т.е. определение необходимого диаметра вала.

Проверочный расчет выполняется в такой последовательности:

1) находим максимальный крутящий момент в поперечном сечении вала (в задачах 81—90 Mк=М_Bp);

2) определяем полярный момент сопротивления сечения вала по соответствующим формулам для круга и кольца;

3) находим максимальное расчетное касательное напряжение

4) сравнивая τ_max с [τк], определяем, соблюдено или нет условие проч­ности.

Расчет на определение допускаемой . нагрузки вала выполняется в такой последовательности:

1) находим полярный момент сопротивления W_p;

2) полагая в выражении условия прочности τmax=[τк], находим допускае­мое значение крутящего момента [Mк] = W_p[τ_k];

3) находим допускаемое значение приложенных к валу внешних (вращаю­щих) моментов' (в задачах контрольного задания [M_Вр] = [.Мк]);

4) из уравнения, выражающего зависимость между вращающим момен­том, угловой скоростью и передаваемой мощностью, находим, какую макси­мальную мощность можно передать с помощью данного вала при заданной угловой скорости или наименьшую углевую скорость вала, при которой может передаваться заданная мощность.

Проектный расчет рекомендуется производить в такой последовательности:

1) находим крутящий момент в поперечном сечении вала;

2) полагая в выражении условия прочности τmах = [т_к], находим требуемый полярный момент сопротивления

3.) исходя из формы поперечного сечения вала (круг или кольцо), по най­денному значению W_p определяем величину диаметра вала; полученное значе­ние диаметра, выраженное в миллиметрах, следует округлить в сторону уве­личения до ближайшего целого четного числа или числа, оканчивающегося на 5.

Из условия жесткости

можно производить также три вида расчетов, аналогичных расчетам на проч­ность.

Последовательность проверочного расчета:

1) найти максимальный крутящий момент;

2) определить полярный момент инерции поперечного сечения вала;

3) определить фактический относительный угол закручивания

где G —модуль сдвига материала бруса (для стали G = 0,8-lО⁵ МПа = 0,8-10(11) (Па);

4) сравнивая φ₀ с [φ₀], определить, соблюдено или нет условие жесткости.

Последовательность расчета допускаемой нагрузки:

1) определить полярный момент инерции поперечного сечения вала;

2) полагая, что φо=[φо], из выражения условия жесткости определить до­пускаемый крутящий момент

3) по допускаемому крутящему моменту найти допускаемое значение при­ложенных к валу внешних скручивающих его моментов (в задачах 81—90 [M_ВР] = [Mк]);

4) из уравнения M_Bp=N/ω определить либо максимально допускаемую мощность, которую можно передать при заданной угловой скорости, либо минимальную угловую скорость вала, при которой можно передать заданную мощ­ность.

Если расчет допускаемой нагрузки выполняется из условия жесткости и из условия прочности, то из двух полученных допускаемых значений [M_K] следует выбирать меньшее.

Последовательность проектного расчета:

1) найти максимальный крутящий момент в поперечном сечении вала;

2) полагая в выражении условия жесткости φо=[φо] определить требуемый полярный момент инерции

3) исходя из формы поперечного сечения вала (круг или кольцо) по най­денному значению J_p определить диаметр (вычисленное значение d следует округлять в сторону увеличения до ближайшего целого четного числа или чис­ла, оканчивающегося на 5).

Если проектный расчет вала производится из условия жесткости и из ус­ловия прочности, то из двух вычисленных значений диаметра вала следует вы­брать больший.

В Международной системе единиц (СИ) передаваемая ' валом мощность измеряется в ваттах (Вт), угловая скорость φ — в рад/с, вращающие моменты М_Bp, а также крутящие моменты М_г — в Н • м, допускаемые касательные нап­ряжения [т_к] — в Па; полярные моменты инерции сечений J_p в м⁴, полярные моменты сопротивления W_p—в м³, допускаемый угол закручивания [φ₀]— в рад/м, модуль сдвига G — в Па.

В соответствии с этим необходимо заданную в условии частоту вращения п (мин^-1) выразить в единицах угловой скорости (рад/с), применив известную формулу

тогда зависимость между передаваемой мощностью N в кВт, угловой ско­ростью φ, рад/с и выраженным внешним моментом М_вр, в Н • м, скручиваю­щим вал, запишется в таком виде:

Допускаемый угол закручивания на практике обычно задается в. град/м, поэтому для перевода в единицы СИ это значение необходимо умножить на π/180°. Например, если дано [φ₀] = 0,4 град/м, то

В четвертой задаче (задачи 91—100) необходимо выполнить проектный расчет из условия прочности при изгибе двухопорной стальной балки, т. е. бал­ки из пластичного материала. Поэтому приступать к решению задачи необхо­димо только после изучения темы 21.

Решать задачу рекомендуется в такой последовательности:

1)определить реакции опор балки (для определения реакций опор реко­мендуется использовать два уравнения моментов — одно относительно левой опоры, второе относительно правой), а затем обязательно проверить правиль­ность решения по уравнению проекций на ось, перпендикулярную балке;

2) построить эпюру поперечных сил;

3) построить эпюру изгибающих моментов (для построения эпюр целесо­образно использовать метод построения по характерным точкам, который доста­точно подробно изложен в рекомендованных учебниках [1], [2] и пособии [6]);

4) по эпюре изгибающих моментов определить расчетный (наибольший по абсолютному значению) изгибающий момент, выразив его в ньютон-метрах (Н-м);

5) в выражении условия прочности

принять, что σ=[σ], и определить требуемый осевой момент сопротивления по­перечного сечения балки;

выразить значение W_x в см³ (при подстановке в расчетную формулу Wx=Ми/[φ] величины М_и в Н-м и [φ] в Па, значение W_x получим, как легко видеть, в м³), а затем с помощью таблиц соответствующих ГОСТов по Найден­ов значению W_x подобрать необходимый номер профиля швеллера (ГОСТ 8240-72) или двутавра (ГОСТ 8239-72); при решении задач контрольной работы можно использовать и старые ГОСТы 1956 г. (ГOCT 8209—56 «Балки двутавровые» и ГОСТ 8240—56 «Швеллеры»), кото­рые имеются в любом сборнике задач по сопротивлению материалов, изданном до 1976 г., и, в частности, в задачниках [3], [4] и [5].

В пятой задаче (задачи 101—110) необходимо выполнить простейшие рас­четы на жесткость при изгибе, т.е. расчеты, связанные с необходимостью учи­тывать прогибы балок, возникающие при их нагружении. Во всех задачах зна­чения искомых прогибов могут быть найдены по готовым формулам, помещен­ным в учебнике [1] (издание 1966 г., с. 324—325; изд. 1970 г. с 308—309-изд 1976 г., с 278-280); в учебнике [2] (изд. 1971 г., с. 177-179);'в задачнике [4] (изд. 1968 г., с. 278 – 279) задачнике [5] (изд. 1965 г., с. 225-226; изд. 1970 г., с. 203—205), а также частично в руководстве-[6] (с 186—187)

Обычно условие жесткости выражается неравенством f≤[f], где f — макси­мальный прогиб (стрела прогиба); [f] — допустимый прогиб.

Исходя из условия жесткости, аналогично расчетам из условия прочности задачи имеют три разновидности: а) проверочный расчет; б) определение до­пускаемой нагрузки; в) определение требуемого размера поперечного сечения

Шестую задачу своего варианта учащиеся должны решить после изучения тем 22 и 23. В этих задачах (задачи 1110—120) рассматривается сложная де­формация (сочетание изгиба с кручением) и потому расчет производится по формулам, выведенным на основе гипотез прочности. Условие прочности в этом случае имеет вид

где M_экв— так называемый эквивалентный момент.

По гипотезе наибольших касательных напряжений (иначе — третья гипо­теза)

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (иначе — пятая ги­потеза)

В обеих формулах М_к — наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала; М_и — наибольший суммарный изгибающий момент, его численное значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т. е.

Для решения шестой задачи каждого варианта рекомендуется такая по­следовательность:

1) привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действие реакциями в вертикальной и горизонтальной пло­скостях, т. е. получить расчетную схему вала (см. в учебнике [1] изд. 1966 г. рис, 9.9 и примеры 9.3 и 9.4 или в том же учебнике изд. 1967 г. рис. 9.8 и при­мер 9.2; в учебнике[2] пример 53, рис. 152; либо в задачнике [4] задачу № 225; либо в пособии [6] примеры 2.73 и 2.74);

2) по заданной мощности Р и угловой скорости ω определить вращающие моменты, действующие на вал;

3) вычислить нагрузки F₁ F_ri, F₂ и F_r2, приложенные к валу;

4) составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях;

5) построить эпюру крутящих моментов;

6) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонталь-Ной плоскостях (эпюры М_х и М_у);

7) определить наибольшую величину эквивалентного момента:

8) положив σ_экв = [а], определить требуемую величину осевого момента сопротивления

9) из выражения W_x = πd³/32 ≈ 0,1 d? определить d — диаметр вала, ок­руглив его значение (в мм) в большую сторону до целого четного числа или числа, оканчивающегося на 5,