Гипербола
Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами.
Если поместить фокусы гиперболы в точках F1(c;0) и F2(–с;0), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
х2/а2–у2/b2=1 |
(17) |
где b2=с2–а2.
Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А1(а;0) и А2(–а;0) называются вершинами гиперболы. Отрезок |А1А2|=2а называется действительной осью гиперболы, а отрезок |В1В2|=2b – мнимой осью (рис.2).
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых имеют вид:
у=( b/a)х |
(18) |
Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки М(х;у) гиперболы от этой прямой стремится к нулю при х или х–.
Отношение
е=с/а1 |
(19) |
называются эксцентриситетом гиперболы.
Рис. 2
Пример 14.
Написать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, если а=4, с=5.
Решение:
Найдем мнимую полуось гиперболы из соотношения b2=с2–а2,
b2=25–16=9.
Имея а2=16, b2=9, запишем уравнение гиперболы
х2/16–у2/9=1.
Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Если директрисой параболы является прямая х=–р/2, а фокусом – точка F(р/2;0), то уравнение параболы имеет вид:
у2=2рх |
(20) |
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис.3), р>0.
Рис. 3
Уравнение
х2=2ру |
(21) |
является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат. При р0, параболы (20) и (21) обращены в положительную сторону соответствующей оси, а при р0 – в отрицательную сторону.
Пример 15.
Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние фокуса от директрисы равно 10.
Решение:
Расстояние фокуса от директрисы р=10. Подставив в уравнение параболы у2=2рх значение р=10, получим
у2=20х.
Ответ: у2=20х.
Пример 16.
Найти уравнение директрисы и координаты фокуса параболы у2=4х.
Решение:
Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена справа от оси Оу.
Из уравнения (20) находим 2р=4, откуда р=2.
Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии р/2=1. Следовательно, уравнение директрисы параболы будет х=–1.
Расстояние фокуса от начала координат равно р/2, поэтому абсцисса фокуса будет х=1.
Итак, фокус находится в точке F(1;0).
Ответ: уравнение директрисы х=–1, фокус F(1;0).
4. Контрольные задания Вопросы для самопроверки
1. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Напишите общее уравнение прямой.
3. Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
4. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки.
5. Напишите уравнение прямой в отрезках.
6. Напишите формулу нахождения угла между прямыми.
7. Напишите общее уравнение линии второго порядка.
8. Напишите каноническое уравнение окружности.
9. Напишите каноническое уравнение эллипса.
10. Что называется фокусом эллипса? Напишите формулу нахождения координат фокуса эллипса.
11. Что называется эксцентриситетом эллипса? Напишите формулу нахождения эксцентриситета эллипса.
12. Какие прямые называются директрисами эллипса?
13. Напишите каноническое уравнение гиперболы.
14. Что называется фокусом гиперболы? Напишите формулу нахождения координат фокуса гиперболы.
15. Что называется эксцентриситетом гиперболы? Напишите формулу нахождения эксцентриситета гиперболы.
16. Какая ось гиперболы мнимая? действительная?
17. Что называется основным прямоугольником гиперболы?
18. Напишите каноническое уравнение параболы?
19. Что называется параметром параболы?
20. Что является осью симметрии параболы?
21. Что называется фокусом параболы? Напишите формулу нахождения координат фокуса параболы.