Угол между двумя прямыми

Угол между прямыми y₁=k₁x+b₁ и y₂=k₂x+b₂ определяется по формуле

tg=(k2–k1)/(1+k2k1)

(10)

Условие параллельности прямых

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты, т.е.

k₂=k₁.

Условие перпендикулярности прямых

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно –1, т.е.

k₂=–1/k₁.

Пример 7.

Определить острый угол между прямыми у₁=3х+1 и у₂=–2х–5.

Решение:

Полагая k₁=3 и k₂=–2 и применяя формулу (10), получим:

tg =(–2–3)/(1+(–2)3)=–5/(–5)=1, т.е.

 =/4=0,785 рад.

Ответ:  =0,785 рад.

Пример 8.

Показать, что прямые 7х+3у–5=0 и 14х+6у+1=0 параллельны.

Решение:

Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем:

у=(–7/3)х+5/3 и у=(–7/3)х+1/14.

Ответ: Угловые коэффициенты этих прямых равны: k₁=k₂=–7/3, т. е. прямые параллельны.

Пример 9.

Показать, что прямые 2х–3у+7=0 и 6х+4у–3=0 перпендикулярны.

Решение:

После приведений уравнений к виду с угловым коэффициентом получаем:

у=(2/3)х+7/3 и у=(–3/2)х+3/4.

Здесь k₁=2/3, k₂=–2/3.

Ответ: Так как k==–1/k₁, то прямые перпендикулярны.

Пример 10.

Даны вершины треугольника А(–5;0), В(–3;–2), С(–7;6). Найти уравнение высоты AD.

Решение:

Составим уравнение прямой ВС по двум точкам и определим её угловой коэффициент

k_ВС=–2.

В силу перпендикулярности прямых AD и BC

k_AD=–1/k_ВС,

т. е. k_AD=–1/2.

Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид:

у–0=(х+5)/2 или х–2у+5=0.

Ответ: х–2у+5=0.

3. Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется множество точек М(x;y) на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:

(11)

где а₁₁, а₂₂, а₀ - заданные числа.

Далее рассмотрим наиболее простые частные случаи этого уравнения.

Окружность

Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки (центра).

Если С(а;b) – центр окружности, а R – радиус окружности, то уравнение окружности имеет вид:

(х – а)2 + (у – b)2 =R2

(12)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (12) примет вид:

х2 + у2 =R2

(13)

Общее уравнение окружности имеет вид:

Ах2+Ау2+Dх+Еу+F=0

(14)

Полезно помнить, что общее уравнение окружности содержит старшие члены х² и у² с равными коэффициентами и отсутствует член с произведением х на у.

Пример 11.

Определить координаты центра и радиус окружности

2х² +2у²–8х+6у+12=0.

Решение:

Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим:

х²–4х+у²+3у=–6.

Дополним выражения х²–4х и у²+3у до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4, а ко второму (3/2)², одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел:

(х²–4х+4)+(у²+3у+(3/2)²)=–6+4+9/4 или (х–2)²+(у+3/2)²=1/4.

Таким образом, координаты центра окружности а=2, b=–3/2, а радиус окружности R=1/2.

Ответ: Центр О(2;–3/2), R=1/2.

Эллипс

Эллипсом называют множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рис.1, а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F₁(C;0) и F₂(–С;0), то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

х2/а2+у2/b2=1

(15)

Рис. 1

Здесь а – большая полуось, b – малая полуось эллипса. Причем, а, b, и с (с – половина расстояния между фокусами) связаны соотношением

b2 =а2–с2

(16)

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцентриситетом е=с/а (так как са, то е1).

Расстояние до некоторой точки М эллипса от его фокусов называется фокальными радиусами-векторами этой точки. Их обычно обозначают r₁ и r₂ (в силу определения эллипса для любой его точки r₁+r₂=2а).

В частном случае, когда а=b (с=0, е=0), фокусы сливаются в одной точке – центре; эллипс превращается в окружность с уравнением х²+у²=а².

Пример 12.

Написать каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси а=5 и b=4.

Решение:

Подставляя в уравнение (15) а²=25, b²=16, получим каноническое уравнение эллипса

х²/25+у²/16=1.

Ответ: х²/25+у²/16=1.

Пример 13.

Написать уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а большая полуось равна 5.

Решение:

Зная, что а=5 и 2с=6, найдем малую полуось эллипса из соотношения b²=a²–c, т. е.

b²=25–9=16.

Уравнение эллипса: х²/25+у²/16=1.

Ответ: х²/25+у²/16=1.