2. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первой степени, относительно х и у, т.е. уравнение вида:

Ах+Ву+С=0

(5)

где А, В и С постоянные коэффициенты, причем А²+В²0, определяет на плоскости некоторую прямую.

Геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению Ах+Ву+С=0, называется прямой на плоскости.

Уравнение Ах+Ву+С=0 называется общим уравнением прямой.

Частные случаи:

1. С=0; А0, В0.

Прямая, определяемая уравнением Ах+Ву=0, проходит через начало координат.

2. А=0; В0, С0.

Прямая, определяемая уравнением Ву+С=0, параллельна оси Ох.

3. В=0, А0, С0.

Прямая, определяемая уравнением Ах+С=0, параллельна оси Oу.

4. В=С=0; А0.

Прямая, определяемая уравнением Ах=0, совпадает с осью Оу.

5. А=С=0; В0.

Прямая, определяемая уравнением Ву=0, совпадает с осью Ох.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в общем уравнении прямой (5) В0, то, решив его относительно у, получим уравнение вида

y=kx+b

(6)

здесь k=–A/B, b=–С/В. Его называют уравнением с угловым коэффициентом, поскольку k=tg, где   угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох. Свободный член уравнения (6) b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку м(х0;у0) в заданном направлении

(7)

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой (5) С0, то разделив все его члены на С, получим уравнение вида

x/a+y/b=1

(8)

где а =–С/А, b=–С/В.

Его называют уравнением прямой в отрезках. В (8) а является абсциссой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – ординатой точки пересечения прямой с осью Оу. Поэтому а и b называют отрезками прямой на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки м1(x1;y1) и м2(x2;y2)

(9)

Пример 1.

Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b=–2 и имеющей угловой коэффициент k=3.

Решение:

Применяя формулу (6), запишем уравнение искомой прямой:

у=3х–2.

Ответ: у=3х–2.

Пример 2.

Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки а=2,5 и b=1,5.

Решение:

Воспользовавшись формулой (8) имеем:

х/2,5+у/1,5=1.

Приведем это уравнение к общему виду:

(2/5)х+(2/3)у=1 или 6х+10у–15=0.

Ответ: 6х+10у–15=0.

Пример 3.

Дано общее уравнение прямой 2х–5у+10=0.

Написать: 1) уравнение с угловым коэффициентом;

2) уравнение в отрезках;

3) построить прямую.

Решение:

1) Разрешив уравнение относительно у, получим уравнение с угловым коэффициентом:

5у=2х+10 или у=(2/5)х+2.

Здесь k=2/5; b=2.

2) Перенесем свободный член уравнения в правую часть и разделим обе части на (–10):

2х/(–10)–5у/(–10)=1.

Здесь а=–5; b=2.

3) Построим прямую:

Пример 4.

Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М(–1;5).

Решение:

Воспользуемся формулой (9)

;

–y=5x;

5x+y=0 – общее уравнение прямой.

Ответ:

Пример 5.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2;–3) и В(–4;5).

Решение:

Применяя формулу (9) и подставляя х₁=2, у₁=–3, х₂=–4, у₂=5, получим:

(у–(–3))/(5–(–3))=(х–2)/(–4–2) или (у+3)/8=(х–2)/(–6), 4(х–2)=–3(у+3).

Искомое уравнение имеет вид 4х+3у+1=0.

Ответ: 4х+3у+1=0

Пример 6.

Даны вершины треугольника А(–1;1), В(5;7), С(–9;3).

Найти уравнения медиан АD, BE, CN.

Решение:

Найдем сначала координаты точки D – середины стороны ВС по формуле (4):

х=(5–9)/2=–2;

у=(7+3)/2=5,

т. е. D(–2; 5).

Уравнение медианы AD находится с помощью уравнения прямой, проходящей через две точки:

(у–1)/(5–1)=(х+1)/(–2+1) или (у–1)/4=(х+1)/(–1),

т. е. 4х+у+3=0.

Ответ: Уравнение медианы AD 4х+у+3=0.

Уравнения медиан ВЕ и CN находятся аналогично.