3. Векторное произведение векторов
Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую тройку, если по часовой стрелки (рис.6).
правая тройка левая тройка
Рис. 6
Векторное
произведение обозначается
или
.
Векторным
произведением вектора
на вектор
называется вектор
,
который:
1)
перпендикулярен векторам
и
,
т.е.
и
;
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис.7)
,
где
Рис. 7
3) векторы , и образуют правую тройку.
Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами , и (рис.8)
,
,
.
Рис. 8
Векторное произведение в координатной форме
|
(10) |
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак
.
2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя
.
3. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору
.
4. Распределительное свойство
.
Пример 10.
Вычислить
модуль векторного произведения векторов
и
.
Решение:
По
формуле
получим
Тогда
модуль векторного произведения равен
.
Пример 11.
Найти
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
Решение:
Используя
формулу
получим
Пример 12.
Вычислить площадь треугольника ABC, если А(–2;1;3), В(2;–1;7), С(11; 2; –5).
Решение:
Используя координаты вершин треугольника, находим
Тогда
=S
Пример 13.
Исследуйте векторы на коллинеарность
Решение:
Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору)
а) Найдём векторное произведение
Таким
образом, векторы
и
не
коллинеарны.
б) Найдём векторное произведение
Значит,
4. Смешанное произведение векторов
Рассмотрим
произведение векторов
,
и
,
составленное следующим образом
.
Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при перестановке сомножителей
.
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения
.
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей
.
4. Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
Выясним
геометрический смысл выражения
.
Построим параллелепипед, ребрами
которого являются вектора
,
,
и вектор
(рис.9).
Рис. 9
Имеем
,
где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
– для
правой тройки векторов
– для
левой тройки векторов;
где
– высота параллелепипеда.
Получаем
.
Т.е.
,
где V – объем параллелепипеда, образованного векторами , и .
Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти вектора образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.
Объем
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
вычисляется как
.
Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен
.
Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.