Направляющие косинусы

Пусть углы вектора с осями ОX, ОY и ОZ соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем

(6)

Или

.

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставив выражение (6) в равенство (4), получим

.

Сократив на , получим соотношение

,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Координатами единичного вектора являются числа , т.е. .

Задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

Пример 3.

Проекции вектора на оси координат равны a_x=1, a_y=–4, a_z=8. Найти длину вектора , его направляющие косинусы.

Решение:

По формуле имеем .

Используя формулы

, ,

находим направляющие косинусы вектора

.

Пример 4.

Найти равнодействующую двух сил и , модули которых равны F₁ = 5, F₂ = 7, угол между ними θ = 60^°.

Решение:

По формуле

находим

Пример 5.

Даны два вектора: и . Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих векторов.

Решение:

Составим сумму и разность этих векторов:

Пример 6.

Дан вектор. Найти его проекцию a_L на ось L, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение:

По условию направляющие косинусы оси проекций между собой равны:

Но сумма квадратов направляющих косинусов какого-либо направления равна 1, а потому

Так как в этой сумме все слагаемые между собой равны, то

Тогда

Знак «+» перед корнем взят потому, что по условию углы λ, μ и ν – острые, а значит, косинусы их положительны.

Так как по условию a_x = 2; a_y = 5; a_z = 1, то по формуле

a_L=a_xcos λ+cos μ+cosν

Получаем

2. Скалярное произведение векторов

Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косину угла между ними.

(7)

Скалярное произведение в координатной форме:

(8)

Скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат.

(9)

Свойства скалярного произведения

1. Переместительное свойство

.

2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя

.

3. Распределительное свойство

.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

.

5. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

если , то .

Справедливо и обратное утверждение:

если и , то .

Пример 7.

Найти скалярное произведение векторов и , и угол между ними.

Решение:

По формуле найдем скалярное произведение

.

Используя формулу (1), найдем длины векторов

,

.

Тогда по формуле найдем косинус угла

,

отсюда .

Пример 8.

Длины векторов и равны =8, =5, угол между векторами = . Найти скалярные квадраты векторов и их скалярное произведение.

Решение:

Воспользовавшись формулами , где –угол между векторами и и , получим скалярное произведение векторов

Скалярные квадраты векторов , .

Пример 9.

Найти проекцию вектора на вектор .

Решение:

Известно, что ПР .

Косинус угла между векторами и

Следовательно

ПР .