Примеры решения задач

Пример 1. Два источника питания с эдс Е₁ = 60 В и Е₂ = 75 В включены в дифференциальную схему, как показано на рис. 1. Найти ток общей ветви, если сопротивление резисторов R₁ = 2 Ом; R₂ = 3 Ом; R₃ = 5 Ом.

Р ешение. На примере данной задачи рассмотрим основные методы расчета цепей постоянного тока.

Рис. 1

1) Метод наложения.

Для нахождения токов ветвей, со­здаваемых источником эдс Е₁, прово­дим расчет вспомогательной схемы на рис. 2, а. Эквивалентное сопротивле­ние в данном случае

R_экв1 = R₁ + = 3,875 Ом.

Токи ветвей соответственно равны:

I₁₁ = Е₁/ R_экв1 = 15,5 A; I₁₂ = I₁₁ R₃/( R₂+ R₃) =9,6A; I₁₃ = I₁₁ – I₁₂ = 5,9 А.

Для нахождения токов ветвей, создаваемых источником эдс Е₂, проводим расчет вспомогательной схемы на рис. 2, б. Эквивалентное сопротивление R_экв2 = R₂ + = 4,4 Ом. Токи ветвей соответственно равны:

I₂₂ = Е₂/ R_экв2 = 17 А; I₂₃ = I₂₂ = 49А; I₂₁ = I₂₂ – I₂₃ = 12,1 А.

Учитывая направления токов на рис. 2, а, б, определяем искомые токи, как алгебраические суммы I₁ = I₁₁ + I₂₁ = 27,6 А; I₂ = I₁₂ + I₂₂ = 26,6 А; I₃ = I₁₃ – I₂₃ = 1 А.

2) Использование законов Кирхгофа.

Задаваясь направлениями токов, указанными на рис. 2, в, составляем уравнения для одного узла и двух контуров цепи:

или

а) б) в) г)

Рис. 2

Исключая один из токов I₃ = I₁ — I₂, получаем систему из двух уравнений:

Решением этой системы являются значения токов I₁ = 27,6 А; I₂ = 26,6 А. Ток I₃ = 1 А.

3) Метод контурных токов.

Выделим на исходной схеме два контура (рис. 2, г) и со­ставим для них уравнения по второму закону Кирхгофа:

или

После несложных преобразований получаем систему из двух уравнений:

которая уже была решена в предыдущем случае, т. е. I₁ = 27,6 А и I₁₁ = 26,6 А. В соответствии с принятыми обозначениями токов I₁ = I₁ = 27,6 А; I₂ = I₁₁ = 26,6 А; I₃ = I₁ – I₁₁ = 1 А.

4) Метод узловых напряжений.

Воспользовавшись формулой , где Y – проводимость соответствующей цепи между узлами 1 и 2, находим напряжение между узлами 1 и 2:

Токи ветвей соответственно равны I₁ = (E₁ — U₂₁)/R₁ = 27,6 А; I₂ = (E₂ + U₂₁)/R₂ = 26,6 А; I₃ = U₂₁/R₃ = 1 А.

5) Метод эквивалентного источника.

Вначале выделим ветвь 1, заменив остальную часть цепи по отношению к ней в виде эквивалентного источника Е_х = U_x1 и R_вн = R_в1 где

U_x1=E₁+U₁₂=E₁+E₂R₃/(R₂+R₃)= 107 B;

R_в1=R₂R₃/(R₂+R₃)=1,875 Ом.

Следовательно, ток ветви 1 по закону Ома равен

I₁ = U_x1/(R_B1+R₁) = 7,6 А.

Аналогичные соотношения можно записать и для ветви 2:

U_x2 = E₂+ U_l2 = -Е₂ + E₁R₃/(R₁+R₃) = 117,8 В;

R_B2= R₁R₃/(R₁+R₃) = 1,43 Oм.

Ток ветви 2 равен I₂ = U_x2/(R_B2+R₂) = 26,6 А.

Ток ветви 3 определяется как разность токов I₃ = I₁— I₂ = 1 А.

Таким образом, для заданной схемы наиболее простым явля­ется метод узловых напряжений.

Для контроля правильности расчета можно воспользоваться формулой баланса мощностей

E₁I₁+E₂I₂=

Подставляя численные значения токов и сопротивлений резис­торов, получаем 3651 = 3651.

Пример 2. Нагревательный прибор сопротивлением 24 Ом включен в сеть переменного тока с напряжением 120 В. Определить ток, мощность прибора и какое количество энергии потребляет прибор за 20 минут.

Дано: R = 24 Ом Решение: По закону Ома для участка цепи U = 120 B находим силу тока

t = 20 мин

Н айти: I = ? P = ? W = ? .

Тогда активная мощность нагревательного прибора будет определяться по формуле . Мощность нагревательного прибора находится как

Ответ: I = 5 А, P = 600 Вт, W = 200 Вт∙час.

Пример 3. К трехфазной сети с нулевым проводом подключена несимметричная нагрузка, фазы которой характеризуются параметрами: для фазы А – R_A=0,8 Ом, X_LA = 1,2 Ом; для фазы В – R_В=0,4 Ом, X_СВ = - 2 Ом; для фазы С – R_С = 1 Ом, X_LС = 1,8 Ом. Определить фазные и линейные токи, ток нулевого провода и коэффициенты мощности каждой фазы при их соединении звездой. Линейные напряжения сети равны 380 В.

Дано:

R _A=0,8 Ом Решение: Фазные напряжения при наличии X_LA = 1,2 Ом уравнительного нулевого провода, представле R_В=0,4 Ом нные в комплексном виде равны: U_фА = U_л/ =

X_СВ = - 2 Ом = 220 В; U_фВ = 220 е^-j120 В; U_фС = 220 е^j120 В

R_С = 1 Ом (смотри [8, c 70]). Сопротивления фаз нагрузки X_LС = 1,8 Ом в соответствии с условием задачи:

U_л = 380 В Z_A = 1,44 e^-j41 Ом; Z_В = 2 e^-j78,7 Ом; Z_С = 2 e^j61 Ом.

f = 50 Гц Фазные токи определяются из соотношений

I_фА = 153 e^-j56 А; I_фС = 110 e^-j41 А; I_фА = 110 e^j59 А.

Найти: I_ф = ? ; I_л=?; I₀ =?; Линейные токи в этой схеме равны фазным, а

cos φ = ? ток нулевого провода определяется суммой:

I₀ = I_А+I_В+I_С = 85-j 127 +82,6- j 72,6+56,6+ j 92,3 = 224,2- j107,3 = 284 e^j25,6 А.

Коэффициенты мощности определяются углами сдвига фаз токов и напряжений, т.е. cos φ_A = 0,555; cos φ_B = 0,196; cos φ_C = 0,485.

Пример 4. Последовательно соединенные катушка с активным сопротивлением R Ом и индуктивностью L Гн и конденсатор с емкостью C мкФ включены в сеть U В, f Гц. Определить ток в цепи, напряжение на катушке и на конденсаторе, активную и реактивную мощности, угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи.

Дано:

L = 0,07 = 70*10^-3 Гн Решение: 1. На основе условия задачи со- R = 8 Ом ставим схему цепи

С = 122 мкФ = 122*10^-6 Ф

U = 120 В

f = 50 Гц

Найти: I = ? ; U_L=?; U_C=?;

P=?; Q=?; φ = ?