Метод двух узлов

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов (МУП).

Как и в МУП потенциал одного из узлов заземляют (например, ₂=0 В), тогда потенциал другого узла, умноженный на сумму проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле, равен узловому току этого узла. В общем виде: . Узловой ток определяют аналогично МУП: В общем виде потенциал первого узла можно определить как:

,

где - алгебраическая сумма условных узловых токов, создаваемых ЭДС и источниками тока, подходящих к узлу k; - сумма проводимостей ветвей, подходящих к этому узлу.

1.45. По данным задачи 1.38 определите токи в цепи (рис.1.43) методом узловых потенциалов.

Решение. Пусть ₂=0 В. Записываем уравнение цепи для определения потенциала узла 1:

Токи в ветвях

Проверка: I₁+I₂+I₃=2,581-1,452-1,129=0, A.

Погрешность обусловлена точностью расчета. Величина погрешности 3, что допустимо.

1.46. Определите режимы работы источников ЭДС Е₁, Е₃ и показания амперметров в цепи (рис. 1.47).

Дано: Е₁=36 В; Е₃=24 В; R₀₁=0,1 Ом; R₂=12 Ом. Сопротивления амперметров равны нулю.

Рис. 1.48

1.47. Определит токи в ветвях схемы (рис.1.49).

1.48. В цепи (рис. 1.50) определить ЭДС Е и токи I₁ и I₂.

Рис. 1.49 Рис. 1.50

Метод наложения

Метод наложения облегчает расчет электрической цепи, находящейся под воздействием нескольких источников электрической энергии.

При расчетах методом наложения в схеме оставляют один источник, остальные источники удаляют, сохраняя внутренние сопротивления и проводимости. Зажимы удаленных источников ЭДС замыкают накоротко, источников тока - оставляют свободными. Далее определяют напряжения и токи ветвей в полученной простой схеме. По завершении расчетов всех простых схем вычисляют алгебраическую сумму найденных напряжений и токов.

1.49. Рассчитать токи в ветвях электрической цепи, схема которой показана на рис. 1.51, используя метод наложения.

Дано: E₁ =24 В, E₂ =96 В, E₃ =48 В, R₁ = 8 Ом, R ₂ = 16 Ом, R ₃ = 8 Ом, R ₄ = 16 Ом.

Решение. В схеме рис. 1.51 три узла, пять ветвей с неизвестными токами и три источника ЭДС, расположенных в разных ветвях схемы. Выбираем произвольно положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 1.51).

Затем разделим сложную схему (рис. 1.51) на три схемы, в каждой из которых оставим по одному источнику, исключив остальные, но сохранив их внутренние сопротивления (рис. 1.52, а, б, в).

Рис. 1.51

а) б)

в)

Рис. 1.52

Так как цепь содержит только идеальные источники ЭДС, внутреннее сопротивление которых равно нулю, то заменим источники ЭДС короткозамкнутыми участками (рис. 1.52, а, б, в). Каждая из полученных схем содержит один источник энергии, поэтому в ней можно сразу правильно показать положительные направления частичных токов.

Токи в полученных схемах будем определять методом эквивалентных преобразований.

Определим частичные токи от действия первого источника ЭДС Е₁ (рис.1.52, а). В этой схеме три узла, пять ветвей с неизвестными токами. Вторая и четвертая ветви соединены параллельно относительно узлов (2) и (3) и эквивалентное сопротивление этих ветвей будет равно:

Первая и третья ветви так же соединены параллельно относительно узлов (3) и (1), и их эквивалентное сопротивление найдем как:

Полученные сопротивления R₁₃ и R₂₄ соединены между собой последовательно, поэтому эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника:

Ток в ветви с источником ЭДС E₁:

Напряжение между узлами (2) и (3):

Частичные токи второй и четвертой ветвей:

Напряжение между узлами (3) и (1):

Частичные токи первой и третьей ветвей:

Определим частичные токи от действия второго источника ЭДС Е₂ (рис.1.52, б).

В рассматриваемой схеме два узла. Первая, третья и четвертая ветви присоединены к этим узлам, т.е. соединены параллельно:

Полученное сопротивление включено последовательно с сопротивлением второй ветви. Эквивалентное сопротивление схемы:

.

Ток в ветви с источником:

Напряжение на параллельных ветвях:

Токи в параллельных ветвях:

Ток I′′₅ можно рассчитать, используя первый закон Кирхгофа:

Определим частичные токи от действия третьего источника ЭДС Е₃ (рис.1.52, в). В схеме два узла, к которым подключены первая, вторая и четвертая ветви, т.е. они соединены параллельно и их эквивалентное сопротивление равно:

Полученное сопротивление соединено последовательно с сопротивлением третьей ветви. Эквивалентное сопротивление всей схемы:

Ток в ветви с источником ЭДС:

Напряжение между узлами:

Токи в параллельных ветвях:

Ток I′′₅ можно определяем из первого закона Кирхгофа: