Метод узловых потенциалов

На практике всегда стремятся сократить число уравнений, подлежащих решению. Эффективным методом для этого является метод узловых потенциалов.

Этот метод основан на применении только первого закона Кирхгофа и закона Ома. Ток в любой ветви электрической цепи определяется разностью потенциалов между концами ветви, поэтому за неизвестные принимают потенциалы узлов.

Один из узлов заземляют, принимая его потенциал равным нулю, а потенциалы остальных узлов рассчитывают относительно него. Число уравнений равно числу неизвестных потенциалов, т.е. у-1.

Согласно этому методу потенциал некоторого k-того узла φ_k , умноженный на алгебраическую сумму проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле g_kk за вычетом потенциалов соседних узлов, соединенных ветвями с k-м узлом, умноженные на проводимости этих ветвей, равен узловому току k-того узла J_kk. Узловой ток J_kk определяется алгебраической суммой токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к k-тому узлу на сопротивления данных ветвей ∑E_kg_k и токов источников тока ∑J_k. Если ЭДС или ток источника тока направлены к узлу, то они принимаются со знаком «плюс», если от узла - то со знаком «минус».

1.41. Используя данные задачи 1.39, определить токи в ветвях схема рис. 1.44.

☻В схеме 3 узла. Приняв φ₃=0 В, необходимо записать еще два уравнения - для определения потенциалов узлов (1) и (2). В общем виде уравнения будут выглядеть так:

для первого узла:

для второго узла: ,

где g₁₁ и g₂₂  сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлам (1) и (2); g₁₂=g₂₁ - сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

При записи численных значений проводимостей следует оставлять 6 знаков после запятой.

J₁₁ и J₂₂ – узловые токи первого и второго узлов, вычисляемые по формуле:

, .

Уравнения цепи для вычисления потенциалов узлов схемы рис. 1.44 будут выглядеть так:

Далее, используя вычисленные потенциалы узлов (1), (2) и φ₃=0, следует определить токи в ветвях согласно закону Ома:

,

где φ_a, φ_b – потенциалы узлов, к которым подключена ветвь с искомым током, при этом ток ветви направлен из узла a в узел b;

Е – ЭДС ветви, которая записывается со знаком «плюс», если ее направление совпадает с направлением искомого тока или со знаком «минус», если не совпадает;

- сумма сопротивлений ветви.

Токи в ветвях схемы рис. 1.44 можно записать как:

Если сравнить между собой методы определения токов в рассматриваемой цепи (рис. 1.44), то наиболее целесообразным окажется метод узловых потенциалов, так как для расчета

токов этим методом необходимо решить систему уравнений всего лишь второго порядка. Расхождения в результатах расчета токов в одной схеме различными методами объясняется погрешностями, возникающими в результате округлений.

1.42. Определить ток в диагонали моста (рис. 1. 46), если E=30 В, R₁=120 Ом; R₂=30 Ом; R₃= 60 Ом; R₄=60 Ом; R₅=90 Ом.

Рис. 1.46

1.43. Определить показания вольтметра в цепи (рис. 1.47).

1.44. В схеме (рис. 1.47) вместо вольтметра включили амперметр. определить его показания.

Рис.1.47