2. Задание.
Согласно исходным данным (Практическое занятие 2) определить числовые характеристики распределения и построить эмпирическую и теоретическую функцию распределения.
3. Вопросы.
3.1 Как определяется количество интервалов?
3.2 Наиболее часто используемые характеристики случайной величины.
3.3 Что такое функция распределения?
3.4 Что такое функция плотности распределения?
3.5 Что такое медиана и мода случайной величины?
Практическое занятие 5, 6
Исследование распределения временных интервалов в транспортном потоке
1 Цель и содержание
Цель работы – приобрести навыки исследования распределения временных интервалов в транспортном потоке.
В результате выполнения работы студенты должны:
1. Определить временные интервалы между автомобилями.
2. Построить распределение временных интервалов.
3. Выдвинуть гипотезу о применении того или иного закона распределения.
4. Оценить тесноту связи теоретического закона с фактическим распределением.
5. Сделать выводы.
2 Теоретическое обоснование
Для статистического моделирования транспортного потока одной из важнейших характеристик является распределение интервалов между движущимися транспортными средствами во времени, а точнее – закон распределения временных интервалов в транспортном потоке. Закон распределения интервалов между автомобилями важен не только сам по себе. Он содержит также информацию об интенсивности движения. Она вычисляется как величина, обратная среднему интервалу:
|
(1.1) |
.На основе закона распределения интервалов можно найти закон распределения интенсивности движения.
Наиболее надежным способом определения
закона распределения являются
экспериментальные исследования.
Проведенные исследования (величиной
выборки
)
над транспортным потоком выявили, что
распределение случайной величины может
быть подчинено предположительно
логарифмически нормальному или
гамма-распределению (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Гистограмма распределения
временных интервалов в потоке
интенсивностью
Функция плотности вероятности логарифмически нормального распределения определяется по формуле:
|
(1.2) |
где
– временной интервал, с
– среднее квадратическое отклонение
(для данного распределения
);
– медиана (для данного распределения
);
Графически кривая логнормального распределения представлена на рисунке 1.2.
Функция плотности вероятности гамма-распределения определяется по формуле:
|
(1.3) |
,
где
– параметры распределения (для данного
распределения
);
– гамма-функция Эйлера.
Графически кривая гамма-распределения представлена на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 – Теоретические распределения: а – логнормальное, б – гамма-распределение
В качестве критерия проверки надежности
удобнее всего использовать критерий
В. И. Романовского, основанный на
применении критерия согласия
:
|
(1.4) |
,
где
–
число степеней свободы.
Для логнормального распределения
,
для гамма-распределения
,
что говорит о существенном расхождении
последнего распределения.
Действительно, логнормальное распределение при заданных условиях отражает структуру транспортного потока (рисунок 1.3). Автомобили в потоке двигаются друг за другом на минимально безопасном расстоянии (зона 2). Расстояния, меньшие наиболее частого интервала (моды распределения) соответствуют доле водителей, которые совершают обгон или двигаются с большим риском (зона 1). Значения, расположенные по правую сторону от моды (зона 3) распределения принадлежат транспортным средствам различных типов (автобусы, грузовые автомобили и т. д.) и различным маловероятным интервалам.
Рисунок 1.3 – Характерные зоны кривой распределения
Следует отметить, что применимость данного закона распределения не является абсолютной, поскольку на его характер влияет множество факторов: интенсивность движения, состав транспортного потока, дорожные условия.