3 Вопросы

1. Какие существуют методы расчета минимального числа объектов наблюдения?

2. Как определить минимальное число объектов наблюдения при неизвестном виде закона распределения?

3. Запишите формулы для определения минимального числа объектов наблюдения для нормального закона распределения.

Практическое занятие 2

Проверка однородности эмпирических данных

1 Теоретическая часть

Эмпирические данные о надежности автомобилей часто представляются для обработки в виде выборок сравнительно небольшого объема, полученных в различных условиях эксплуатации, или в разное время, и т.п.

Анализ однородности исходного статистического материала преследует цель установить возможность объединения различных выборок в одну общую выборку для дальнейшей обработки.

Если функции распределения генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, совпадают по всей области их определения, то выборки считаются однородными.

Методы анализа однородности исходного статистического материала выбираются на основании: предположения о виде закона распределения или отсутствия предположения о виде закона распределения; количества выборок; объемов выборок; значений наработок и или времен восстановления, составляющих каждую выборку.

Критерий Вилкоксона используется для анализа однородности двух малых, независимых выборок, когда либо о виде закона распределения нельзя сделать никаких предположений, либо когда генеральные совокупности подчиняются одному из распределений: экспоненциальному, нормальному, логарифмически-нормальному, гамма-распределению, распределению Вейбулла.

В работе рассматриваются случаи, когда имеются два независимых выборочных наблюдения объемами: n₁ – x₁, x₂, ……x_n и n₂ – y₁, y₂, ……y_n из двух генеральных совокупностей, для которых неизвестные функции распределения F(x) и J(y) предполагаются непрерывными.

1. Значение критерия Вилкоксона основано на вычислении инверсий U.

После упорядочения данных в обеих выборках n₁ и n₂ составляется общий вариационный ряд x₁, y₁, x₂, x₃, y₂, y₃, _{. . . .}

Значением критерия является вычисляемое для x и y общее число инверсий U.

Об инверсии можно говорить, когда в ранговом порядке n₁ + n₂ наблюдений, например, число значений x предшествует рассматриваемому числу y.

Оценка математического ожидания числа инверсий определяется по формуле:

. (1)

Оценка дисперсии числа инверсий вычисляется по уравнению:

. (2)

При проверке гипотезы об однородности двух выборок применяется двусторонний критерий, т.е.

(3)

(4)

где табличные данные [1], выбираются из таблицы П1 приложения.

Если U_н<U<U_,в, то гипотеза об однородности выборочных наблюдений принимается. Если значение U выходит за нижнюю или верхнюю границы, гипотезу об однородности выборочных наблюдений следует отвергнуть.

2. Проверка однородности полученных значений основывается на вычислении ранговой w-статистики.

Статистикой W критерия является сумма рангов (порядковых номеров в объединенном вариационном ряду) для той выборки, в которой число наблюдений меньше. Пусть имеется для двух выборок возрастающая последовательность наблюдений:

x₁, x₂, y₁, y₂, x₃, y₃, x₄, x₅,…..

Рангами элементов являются 1, 2, 3, 4, 5 ….

По единому вариационному ряду вычисляется w-статистика для меньших выборок:

, (5)

где r_j – ранг j-го наблюдения.

Математическое ожидание w-статистики определяется равенством:

, (6)

Дисперсия w-статистики определяется соотношением:

; (7)

Верхнее критическое значение находится с использованием зависимости:

(8)

Таким образом, если соблюдается неравенство

< <

находится в границах критической области, следовательно, гипотеза об однородности выборок с помощью w-статистики подтверждается. Если один из объемов выборок больше 25, то при вычислении нижнего критического значения пользуются приближенным значением, полученным по уравнению:

,

где — выбирается из таблицы 1П приложения