Практическое занятие 19.

Методы нахождения опорного плана: метод искусственного базиса

1 Цель и содержание

Цель работы – приобрести навыки решения задач методом нахождения опорного решения, основанного на введении искусственных переменных.

В результате выполнения работы студенты должны:

1. Привести задачу к виду, допускающему применение симплекс-алгоритма;

2. Составить симплекс-таблицу;

3. Ввести искусственные переменные;

4. Определить значение целевой функции;

5. Сделать выводы.

2 Теоретическое обоснование

Сформированный выше алгоритм симплекс - метода можно применять лишь в том случае, если выделено первое допустимое решение, т. е. исходная задача линейного программирования приведена к виду:

.

При этом , тогда, положив свободные неизвестные равными нулю, получаем опорное решение .

Рассмотрим метод нахождения опорного решения, основанный на введении искусственных переменных. Для этого запишем задачу линейного программирования в общем виде. Будем рассматривать задачу с числом неизвестных « » и « » ограничениями:

(8.1)

Перепишем систему в другом виде. Для этого введем искусственные переменные так, чтобы был выделен базис. Тогда система примет вид:

(8.2)

Системы (8.1) и (8.2) будут эквивалентны в том случае, если все , для будут равны 0. Кроме того, мы считаем, что все для . В противном случае соответствующие ограничения из системы (7.42) умножим на «-1». Для того, чтобы были равны 0, мы должны преобразовать задачу таким образом, чтобы все искусственные переменные перешли в свободные неизвестные.

В этом случае система после преобразования примет вид:

(8.3)

От системы (8.2) к системе (8.3) всегда можно перейти шагами симплекс - метода. При таком переходе в качестве линейной формы рассматривают функцию:

,

(8.4)

равную сумме искусственных переменных. Переход заканчивают, когда =0 и все искусственные переменные переведены в свободные неизвестные.

Анализ вариантов решений

1. Если 0, а все переведены в свободные переменные, то задача не имеет положительного решения.

2. Если =0, а часть осталась в базисе, то для перевода их в свободные переменные необходимо применять специальные приемы.

В симплекс-таблице, соответствующей после того как =0, а все – свободные, вычеркивают строку для и столбцы для и решают задачу для исходной линейной формы .

Рекомендуется вводить минимум искусственных переменных.

3 Аппаратура и материалы

Микрокалькулятор, программное обеспечение MS Excel.

4 Указания по технике безопасности

При выполнении работы студенты должны руководствоваться общими для учебных аудиторий правилами техники безопасности.

5 Методика и порядок выполнения работы

Получить вариант задания (таблица 7.1).

Порядок выполнения рассмотрим на примере.

Пример. Решить задачу линейного программирования симплекс - методом. Для нахождения опорного плана использовать метод искусственных переменных.

Ограничения:

Целевая функция:

.

В базис можно выделить переменную . Введем две искусственные переменные и .

;

.

Составим первую симплекс- таблицу:

Свободные Базисные	Свобод­ный член
	1	3	-5	2	0
	4	-2	2	-1		¬
	5	-1	3	-2	1
	0	-1	-2	0	0
	9	-3	5	-3	2

Наименьший положительный элемент в строке линейной формы равен 2. Разрешающий элемент находится на пересечении столбца переменной и строки переменной .

Заполним следующую симплекс - таблицу:

Свободные Базисные	Свободный член
	1	3	-5	2	0
	4	-2	2	-1	1
	1	1		-1	-1	¬
	0	-1	-2	0	0
	1	1	1	-1	-2

­

Наименьший положительный элемент в строке линейной формы равен 1. Минимальное симплекс - отношение соответствует строке переменной .

Заполним следующую симплекс - таблицу:

Свободные Базисные	Свобод­ный член
	6	8	5	-3	5
	2	-4	-2	1	3
	1	1	1	-1	-1
	2	1	2	-2	-1
	0	0	-1	0	-1

Так как =0, а переведены в число свободных, переход к первому опорному решению завершен. Строку, соответствующую , и столбцы переменных вычеркиваем в последней таблице и перепишем ее в новом виде:

Свободные Базисные	Свободный Член
	6		-3	¬
	2	-4	1
	1	1	-1
	2	1	-2

­

Решим задачу для исходной линейной формы . В последней таблице находим разрешающий элемент - он равен 8. Выполняя действия согласно алгоритму симплекс - метода, получим следующую таблицу:

Свободные Базисные	Свободный член
	6/8	1/8	-3/8
	5	4/8	-12/8
	2/8	-1/8	-5/8
	10/8	-1/8	-13/8

В последней строке ( ) положительных элементов нет, следовательно, оптимальное решение найдено.

Значение целевой функции равно 10/8. Оптимальный план =(6/8; 2/8; 0; 0; 5).