3. Вопросы
3.1 Что такое марковский процесс?
3.2 Как построить граф состояний?
3.3 Как составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова?
Практическое занятие 12.
Определение характеристик одноканальной системы массового обслуживания с отказами
1 Цель и содержание
Цель работы – приобрести навыки моделирования одноканальной системы массового обслуживания с отказами.
В результате выполнения работы студенты должны:
1. Определить относительную пропускную
способность
;
2. Определить абсолютную пропускную
способность
;
3. Определить вероятность отказа
;
4. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно t часов и автомобили следовали один за другим без перерыва.
5. Сделать выводы.
2 Теоретическое обоснование
Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид:
|
(1.1) |
,
где 
– интенсивность поступления заявок в
систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания
|
(1.2) |
,
где 
– интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживаний простейшие.
Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.
Представим данную систему массового обслуживания в виде графа, у которого имеются два состояния:
– канал свободен (ожидание),
– канал занят (идет обслуживание заявки).
Обозначим вероятности состояний:
– вероятность состояния «канал свободен»;
– вероятность состояния «канал занят».
По размеченному графу состояний составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
|
(1.3) |
Система линейных дифференциальных
уравнений (1.3) имеет решение с учетом
нормировочного условия
.
Решение данной системы называется
неустановившимся, поскольку оно
непосредственно зависит от
и выглядит следующим образом
|
(1.4) |
|
(1.5) |
;
.
Нетрудно убедиться, что для одноканальной
СМО с отказами вероятность
есть не что иное, как относительная
пропускная способность системы
.
Действительно,
– вероятность того, что в момент
канал свободен, и заявка, пришедшая к
моменту
,
будет обслужена. А следовательно, для
данного момента времени
среднее отношение числа обслуженных
заявок к числу поступивших также равно
,
т. е.
|
(1.6) |
.
По истечении большого интервала времени
(при
)
достигается стационарный (установившийся)
режим:
|
(1.7) |
.
Зная относительную пропускную
способность, легко найти абсолютную.
Абсолютная пропускная способность
– среднее число заявок, которое может
обслужить система массового обслуживания
в единицу времени:
|
(1.8) |
.Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:
|
(1.9) |
.
Данная величина
может быть интерпретирована как средняя
доля необслуженных заявок среди поданных.