Короткі теоретичні відомості

Алгоритм розрахунку:

1. Знаходження незалежних початкових умов (НПУ) i_L(0_-), u_C(0_-) – за аналогією з класичним методом.

2. Складання операторної схеми заміщення (схема після комутації).

Змін зазнають реактивні елементи; залежно від конфігурації кола використовують послідовну чи паралельну схеми заміщення.

3. Вираження невідомої величини як L – зображення F(p).

4. Відтворення ориґіналу, як функції часу: F(p) f(p).

Найчастіше ця величина має вигляд дробу , де M(p) та N(p) – поліноми, причому ступінь чисельника повинен бути більший за степінь знаменника.

Якщо F(p) задовольняє вищезгадані вимоги, то для відтворення функції часу можна користуватись таким алгоритмом:

1. Знайти корені знаменника дробу з рівняння N(p) = 0 (вони повинні співпадати з коренями характеристичного рівняння класичного методу): p₁, p₂, …p_k,…p_n.

2. Залежно від виду коренів записують ориґінал за допомогою теореми розкладання. Наведемо окремі випадки:

– корені дійсні та різні (приклад 7.1):

,

– є один нульовий корінь p = 0 і n ненульових p₁, p₂, …p_k,…p_n, тоді дріб можна зобразити у вигляді: (приклад 7.2):

,

– корені комплексно-спряжені (приклад 7.3):

,

де p_k – один із пари комплексно-спряжених коренів, наприклад .

Приклад 7.1

Записати ориґінал виразу .

Розв’язання

Отже, маємо відношення поліномів та .

Степінь чисельника більший за степінь знаменника, то можливо скористатися алгоритмом, наведеним у п. 4.

Знайдемо корені рівняння знаменника: .

Маємо: – корені дійсні та різні.

Тому функція часу буде мати вигляд:

Приклад 7.2

Записати ориґінал виразу .

Розв’язання

Очевидно, що в знаменнику є нульовий корінь:

отже, маємо корені: , .

Тоді поліноми будуть мати вигляд: та .

Запишемо функцію часу:

Приклад 7.3

Записати ориґінал виразу .

Розв’язання

Знайдемо корені рівняння знаменника: .

Дискримінант:

Маємо: – корені комплексно-спряжені.

Вирази, необхідні для запису функції часу: , , та після підстановки кореня: .

Приклад 7.4

Для кола, зображеного на рис. 7.2, а, знайти струм i_L(t), якщо відомі параметри кола: I₀ = 1 А, R = 100 Ом, C = 5 мкФ, L = 40 мГн.

а) б)

Рисунок 7.2 – Вихідне коло до розрахунку (а) та схема кола до комутації в сталому режимі (б)

Розв’язання

1. Знайдемо НПУ.

За аналогією з класичним методом (див. приклад 6.1):

i_L(0_-) = 0;

u_C(0_-) = u_R =I₀·R = 100 В.

2. Складемо операторну схему заміщення (схема після комутації).

Рисунок 7.3 – Операторна схема заміщення

Об’єднаємо три джерела струму в одне, як показано на рис. 7.4, де струм об’єднаного джерела:

.

Рисунок 7.4 – Схема після перетворення

Знайдемо струм I_L(p):

;

.

Знаменник має три корені:

З урахуванням нульового кореня: .

Розпишемо всі складові виразу:

;

;

Після підстановки маємо:

.

Вираз у квадратних дужках переведемо до показникової форми запису:

Остаточно: А

Приклад 7.5

Для кола, зображеного на рис. 7.5, знайти струм i_L(t), якщо відомі параметри кола: U = 10 B, R = 10 Ом, C = 250 мкФ, L = 4 мГн.

Рисунок 7.5 – Схема для розв’язання

Розв’язання

Спочатку оберемо додатні напрямки струмів у гілках схеми.

1. НПУ знайдемо зі схеми до перемикання ключа.

У зв’язку з тим, що котушка від’єднана від джерела, маємо:

i_L(0_-) = 0;

u_C(0_-) = U₀ = 10 В.

2. Складемо операторну схему заміщення для схеми після комутації рис. 7.6. У цьому випадку зручно користуватись послідовними схемами заміщення реактивних елементів (рис. 7.6, б).

Об’єднаємо два джерела напруги в одне, як показано на рис. 7.6, в, де напруга об’єднаного джерела:

Знайдемо струм I_L(p):

.

4. Розв’яжемо рівняння:

Маємо корені:

Корені реальні та різні – тому функція часу буде мати вигляд: