Методичка 4816 Теор вер
.pdf
81
где k1 число степеней свободы большей дисперсии, k2 число степеней свободы меньшей дисперсии.
4) Найти число
F набл |
Sнаиб2 |
, |
2 |
||
|
Sнаим |
|
равное отношению большей из двух исправленных выборочных дисперсий s 2Х и sY2 к меньшей;
5) Сравнить числа Fкрит и Fнабл :
если Fнабл > Fкрит, то отвергнуть гипотезу H0 и принять гипотезу H1 ;
если Fнабл <Fкрит, то нет основания отвергать гипотезу H0.
Замечание 4. Если для нулевой гипотезы H0 : D(X)=D(Y) в качестве конкурирующей гипотезы выбрана H1 D(X)≠D(Y), то строят двустороннюю критическую область. Для этого по табл. П 2.7 (см. приложение 2) вычисляют
правую границу F2 крит критической области по уровню значимости α и числам
2
степеней свободы k1 = n1 – 1 , k2 = n2 – 1. Тогда, если Fнабл > F2 крит , то гипотеза H0 отвергается и принимается гипотеза H1; если Fнабл < F2 крит , то нет основания отвергать гипотезу H0 .
Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Пусть генеральные совокупности X1 ,…, Xl распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки объемов n1 , n2,…, nl соответственно. По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии
s12 ,…, s l2 . Требуется сравнить дисперсии генеральных совокупностей.
Сх е м а сравнения D(X1), …, D(Xl)
1)Выдвинуть нулевую гипотезу: D(X1)=D(X2)=…= D(Xl);
2)Задать число α – уровень значимости нулевой гипотезы;
3)Найти из табл. П 2.5 распределения χ2 (см. приложение 2) значение χ2крит по заданному α и числу степеней свободы l – 1 ;
4) Найти число |
B |
|
|
V |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
набл |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
2 |
|
1 |
|
l |
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где V 2,303 k lg s |
|
ki lg si , |
С 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 l |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1ki |
|
|
k |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
l |
||
|
|
|
ki ni 1, |
k ki , |
|
s |
|
ki si2 ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k i 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
82 |
5) Сравнить числа χ2крит и Bнабл : |
||
|
если |
Bнабл > χ2крит , то отвергнуть гипотезу H0 , |
|
если |
Bнабл < χ2крит то нет основания отвергать гипотезу H0 . |
З а м е ч а н и е 5. В случае принятия гипотезы H0 в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности за дисперсию этой генеральной совокупности принимают число s 2.
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей
Пусть даны две независимые выборки объемов n1 и n2 соответственно из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y. По выборкам найдены оценки математических ожиданий x , y и исправленные выборочные
дисперсии s |
2 |
, |
s 2 |
. Требуется сравнить |
M(X) и M(Y) генеральных |
|
Х |
|
Y |
|
|
совокупностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
С х е м а сравнения M(X) и |
M(Y) |
|
1)Выдвинуть нулевую гипотезу: H0 : M(X) = M(Y) . В качестве конкурирующей гипотезы рассмотреть
|
|
|
|
|
|
|
|
H1 : M(X) ≠ M(Y) ; |
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
Задать число α – уровень значимости нулевой гипотезы; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) |
Найти по табл. П 2.6 распределения Стьюдента (см. приложение 2) значение |
||||||||||||||||||||
|
Tкрит по заданному α и числу k = n1 + n2 |
– 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
n2 |
2 |
|
||||||
4) |
Найти число Tнабл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1n2 n1 |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
n |
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n1 |
1 |
sX n2 |
1 |
sY |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||
5)Сравнить числа Tкрит и Tнабл :
если Tнабл > Tкрит , то отвергнуть гипотезу H0 ,
если Tнабл < Tкрит , то нет основания отвергать гипотезу H0 .
За м е ч а н и е 6. Если необходимо проверить гипотезу H0: M(X) = M(Y) о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей X и Y при
условии известных дисперсий ζ 2X и ζY2 , то в описанной выше схеме вместо Tкрит используют число Nкрит , определяемое с помощью табл. П 2.2 (см. приложение 2) по заданному α из равенства:
Ф Nкрит 1 α
2
Вместо Tнабл по данным выборок вычисляют число
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Nнабл |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
σ2X |
|
σY2 |
|
||||||||
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|||
83
Если Nнабл < Nкрит, то нет основания отвергать гипотезу H0 .
Если Nнабл > Nкрит, то гипотезу H0 отвергают.
Задачи с решениями
З а д а ч а 9.1. По двум независимым выборкам объемов n1 = 10 и n2 = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены
оценки дисперсий: s |
2 |
= 8,42, s 2 |
= 4,23. |
При уровне значимости α = 0,05 |
||||
|
Х |
Y |
|
|
|
|
|
|
проверить гипотезу |
|
H0: D(X)=D(Y) |
при |
|
|
конкурирующей гипотезе H1: |
||
D(X)>D(Y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . 1) По данным выборки вычисляем |
|
|||||||
|
|
F набл |
Sнаиб2 |
= |
8,42 |
|
1,99 . |
|
|
|
2 |
4,23 |
|||||
|
|
|
Sнаим |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения
|
α = 0,05, k1 = n1 – 1 = 9 , k2 = n2 – 1 = 14. |
находим число: |
Fкрит = 2,65. |
3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е. Fнабл < Fкрит , то нет основания отвергать гипотезу H0.
Ответ: гипотеза H0 : D(X)=D(Y) принимается.
З а д а ч а 9.2. По двум независимым выборкам объемов n1=10 и n2=15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены
оценки дисперсий: S 2Х = 8,42, SY2 = 4,23. При уровне значимости α = 0,1
проверить гипотезу H0: D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе H1:
D(X)≠D(Y).
Р е ш е н и е . 1) По данным выборки вычисляем
F набл |
Sнаиб2 |
8,42 |
|
|
|
|
= |
|
|
1,99 . |
|
2 |
4,23 |
||||
|
Sнаим |
|
|||
|
|
|
|
||
2) По табл. П 2.7 (см. приложение 1), учитывая значения
α = 0,1 и |
α |
= 0,05 , k1 = n1 – 1 = 9 , k2 = n2 – 1 = 14. |
|
2 |
|||
|
|
||
находим число: |
|
Fкрит = 2,65. |
3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е. Fнабл < F крит , то нет основания отвергать гипотезу H0.
84
Ответ: гипотеза H0 : D(X)=D(Y) принимается.
З а д а ч а 9.3. По трем независимым выборкам объемов n1 = 10 и n2 = 15 и
n3 = 20, |
извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y и Z |
найдены |
оценки дисперсий: S12 = 3,62, S 22 =4,23, S 32 =7,45. При уровне |
значимости α = 0,05 проверить гипотезу H0 : D(X)=D(Y)=D(Z).
Р е ш е н и е . 1) По данным выборок вычисляем:
k1 = n1 – 1=9, k2 = n2 – 1=14, k3 = n3 – 1=19.
l
|
|
|
|
|
|
|
k ki = 9 + 14 + 19 = 42, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
1 |
l |
|
s2 |
|
1 |
9 3,62 14 4,23 19 |
7,45 5,56 |
|||||
s |
k |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
k i 1 |
i |
i |
42 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
2 |
||
|
|
|
|
|
V 2,303 k lg s |
|
ki lg si |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
||
= 2,303 42 lg 5,56 9 lg 3,62 14 lg 4,23 19 lg 7,45 2,13.
|
1 |
|
|
l |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||
С 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,035, |
|
3 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i 1k |
i |
|
k |
|
|
|
6 |
|
9 |
|
14 19 |
|
42 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
2,13 |
|
2,06. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
набл |
|
1,035 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) По табл. П 2.5 (см. приложение 2), учитывая значения
α = 0,05, k = 3 – 1 = 2,
находим число
χ2крит = 6,0
3) Сравниваем: так как 2,06 < 6,0 , т.е. Bнабл < χ2крит , следовательно нет основания отвергать нулевую гипотезу.
Ответ: гипотезу H0 : D(X) = D(Y) =D(Z) принимают.
З а д а ч а 9.4. По двум независимым выборкам объемов n1=10 и n2=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки математических ожиданий x =2,5, y =3,1 и исправленные выборочные
дисперсии s 2Х =0,62, sY2 =0,43 . Проверить нулевую гипотезу: H0 :
85
M(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе H1 : M(X) ≠ M(Y) и уровне значимости α = 0,01.
Р е ш е н и е . 1) Так как s 2Х ≠ sY2 , то предварительно проверим гипотезу H0:
D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: D(X)>D(Y). Для этого поступаем по аналогии с решением 1 задачи.
а) По данным выборки вычисляем
F набл |
Sнаиб2 |
0,62 |
|
|
|
|
= |
|
1,44 |
; |
|
2 |
0,43 |
||||
|
Sнаим |
|
|
||
|
|
|
|
||
б) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения
α = 0,01, k1 = n1 – 1 = 9 , k2 = n2 – 1 = 15.
находим число:
Fкрит = 3,89.
в) Сравниваем: так как 1,44 < 3,89, т.е. Fнабл < Fкрит , то гипотеза о равенстве генеральных дисперсий принимается, то есть различие между s 2Х = 0,62 и sY2 = 0,43 считаем незначительным.
2) Проверим гипотезу H0 : M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1 : M(X) ≠ M(Y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) Найдем по табл. П 2.6 (см. приложение 2) |
значение Tкрит по заданному |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
α = 0,01 и числу k = 10 + 16 – 2 = 24 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tкрит = 2,8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) Найдем число Tнабл : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
2 |
|
|
|||||||||||
Tнабл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1n2 n1 |
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n1 1 |
sX |
|
n2 1 |
sY |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2,5 3,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 1610 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9 |
|
0,62 15 0,43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
12,153 |
0,6 |
|
12,153 2,101. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3,47 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12,03 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
86
в) Сравнить числа Tкрит и Tнабл : так как 2,101 < 2,8 то Tнабл < Tкрит и гипотеза H0 : M(X) = M(Y) о равенстве средних принимается.
От в е т : гипотеза H0 : M(X) = M(Y) принимается.
За д а ч а 9.5. По двум независимым выборкам объемов n1=10 и n2=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, с дисперсиями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ 2X =9, ζY2 =12, вычислены оценки математических ожиданий x =12,7, |
|
y =10,2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу |
|
H0 : M(X) = |
M(Y) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
конкурирующей гипотезе H1 : M(X) ≠ M(Y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е . Воспользуемся замечанием 6. 1) Вычислим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
12,7 10,2 |
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2,19. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
набл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
X2 |
|
Y2 |
9 |
12 |
|
|
|
|
0,5 0,8 |
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n1 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) Находим Nкрит из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Ф N |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, то есть Ф N |
|
= 0,475 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
крит |
2 |
крит |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
используя табл. П 2.2 (см. приложение 2).
Следовательно,
Nкрит =1,96.
3) Сравниваем: так как 2,19 > 1,96, т.е. Nнабл > Nкрит , то гипотезу H0 отвергают. Значит, различие генеральных математических ожиданий значительное.
О т в е т : гипотеза H0 : M(X) = M(Y) отвергается, т.е. M(X) ≠ M(Y).
Задачи
9.1. По двум независимым выборкам объемов n1=10 и n2=13, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y , найдены исправленные
выборочные дисперсии s 2Х =0,52 и sY2 =0,28. При уровне значимости α = 0,01
проверить гипотезу H0: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе H1:
D(X) > D(Y).
9.2. По двум независимым выборкам объемов n1=15 и n2=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y , найдены исправленные
выборочные дисперсии s 2Х =1,92 и sY2 =3,21. При уровне значимости α = 0,1
проверить гипотезу H0 : D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе H1:
D(X) ≠ D(Y).
87
9.3. По двум независимым выборкам объемов n1=15 и n2=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y c дисперсиями D(X)=25,
D(Y)=32, найдены выборочные средние x =53, y = 61. При уровне значимости α = 0,1 проверить нулевую гипотезу H0 : M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе H1 : M(X) ≠ M(Y).
9.4. По двум независимым выборкам объемов n1=15 и n2=12, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y найдены выборочные средние
x =11,2, y =15,7 и исправленные выборочные дисперсии s 2x =0,58 , sY2 =0, 83. При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу H0 : M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе H1: M(X) ≠ M(Y).
9.5.По трем независимым выборкам объемов n1=10, n2=12 и n3=17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y и Z, найдены выборочные дисперсии Dв(X)=2,3, Dв(Y)=2,7 , Dв(Z)=4,5 При уровне значимости
α= 0,05 проверить гипотезу H0 : D(X) = D(Y) = D(Z).
9.6.По двум независимым выборкам объемов n1=12 и n2=18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные
выборочные дисперсии s |
2 |
=25,31 , |
s 2 |
=10,23. При уровне значимости α = 0,05 |
|
Х |
|
Y |
|
проверить гипотезу H0: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе H1 :
D(X) > D(Y).
9.7. По двум независимым выборкам объемов n1=12 и n2=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные выборочные дисперсии Dв(X)=12,3, Dв(Y)=18,5. При уровне значимости α = 0,02 проверить гипотезу H0: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе H1 :
D(X) ≠ D(Y).
9.8. По двум независимым выборкам объемов n1=40 и n2=30, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y c дисперсиями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(X) = 80, D(Y) = 70, найдены выборочные средние x = 120, |
y = 115. При |
|||||||||
уровне значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезу H0 : M(X) = M(Y) при |
||||||||||
конкурирующей гипотезе H1: M(X) ≠ M(Y). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.9. Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково |
||||||||||
настроенных станках, извлечены две выборки: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
2,2 |
2,6 |
|
2,8 |
|
|
|
3,1 |
|
|
mi |
2 |
3 |
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
2,5 |
2,7 |
|
2,8 |
|
|
|
3,0 |
|
|
mi |
2 |
4 |
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
88
Проверить нулевую гипотезу H0 : M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе H1 : M(X)≠M(Y) при уровне значимости α = 0, 1.
9.10. По четырем независимым выборкам объемов n1=12 и n2=15, n3=18 и n4=20 извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y, Z и U,
найдены исправленные выборочные дисперсии S12 =0,27 , S 22 =0,52, S 32 =0,85 и
S 24 =0,99. При уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу H0: D(X) =D(Y) =
D(Z) = D(U).
Ответы
9.1.H0 принимается: Fнабл = 1,86 , Fкрит = 4,39.
9.2.H0 принимается: Fнабл = 1,67 , Fкрит = 2,65.
9.3.H0 отвергается: Nнабл = 5,36 , Nкрит = 1,64.
9.4.H0 отвергается: Tнабл = 13,99 , Tкрит = 2,06.
У к а з а н и е . Предварительно проверить равенство дисперсий при заданном уровне значимости
9.5.H0 принимается: Bнабл = 4,064 , χ2 крит = 6,0.
9.6.H0 отвергается: Fнабл = 2,47 , Fкрит = 2,41.
9.7.H0 принимается: Fнабл = 1,53 , Fкрит = 4,63.
9.8.H0 принимается: Nнабл = 2,40 , Nкрит = 2,58.
9.9.H0 принимается: Tнабл = 0,73 , Tкрит = 1,71.
У к а з а н и е : Предварительно проверить равенство дисперсий при заданном уровне значимости
9.10. H0 принимается: Bнабл. =2,918 , χ2=11,3.
§10. Критерий согласия Пирсона
Проверка гипотезы о нормальном распределении
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения.
Критерий согласия Пирсона (критерий проверки гипотезы о нормальном
распределении генеральной совокупности):
1) По выборке объема n построить статистический ряд:
89
xi |
x1 |
x2 |
… |
xl |
mi |
m1 |
m2 |
… |
ml |
2)Вычислить по таблице оценку математического ожидания x и выборочное среднее квадратическое отклонение ζв.
3)В предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислить теоретические частоты m1 теор ,…, ml теор по формуле:
m1 теор=n · pi ,
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
p |
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
; |
|
Ф(x) |
– интегральная функция |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
||||
распределения Лапласа табл. П 2.2(см. приложение 2). |
|||||||||||||||||||||
4) Вычислить число χ2набл по формуле: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
2 |
|
(mi |
mi теор ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
mi |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
набл = |
n . |
||||||||||||||
χ набл = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
χ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
i 1 |
mi теор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 mi теор |
|
||||||||
5)По табл. П 2.5 (приложение 2) найти число χ2крит , учитывая заданный уровень значимости α и число степеней свободы k = l – 3 .
6)Сравнить числа χ2набл и χ2крит :
если χ2набл < χ2крит , то нет основания отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
если χ2набл > χ2крит , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности следует отвергнуть.
За м е ч а н и е 1. Объем выборки n должен быть достаточно велик (больше 100). Число l обычно выбирают в диапазоне от 7 до 15. Поэтому при составлении интервального статистического ряда не используют интервалы, содержащие малое число значений объединяя их в один и суммируя соответствующее число значений.
За м е ч а н и е 2. В случае χ2набл < χ2крит , для избежания ошибки первого рода следует повторить опыт, увеличив число n.
З а м е ч а н и е 3. При использовании критерия Пирсона с целью систематизации записи рекомендуется записывать все промежуточные вычисления в виде следующей таблицы:
90
№ |
xi |
mi |
mi2 |
mi теор |
|
(mi m |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
i теор |
|
|
|
|
|
|
|
|
mi теор |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
n |
|
n |
|
χ2набл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи с решениями З а д а ч а 10.1. Отделом технического контроля качества продукции
произведен выбор 200 деталей для измерения отклонений их действительного диаметра от планируемого. Данные измерений приведены в табл. 10.1.
|
|
Т а б л и ц а 10.1 |
|
|
|
[ai ; ai+1) |
mi |
|
[–20 |
; –15) |
7 |
[–15 |
; –10) |
11 |
[–10 ; –5) |
15 |
|
[–5 ; 0) |
24 |
|
[0 ; 5) |
49 |
|
[5 ; 10) |
41 |
|
[10 ; 15) |
26 |
|
[15 ; 20) |
17 |
|
[20 ; 25) |
7 |
|
[25 ; 30) |
3 |
|
Оценить с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05 .
Р е ш е н и е . Перейдем от интервального статистического ряда к статистическому ряду, заменив каждый промежуток [ai ; ai+1) его средним
значением |
x |
ai ai 1 |
. Получаем табл. 10.2. |
|
|||
|
i |
2 |
|
|
|
|
По табл. 10.2 вычислим математическое ожидание x , дисперсию Dв и среднее квадратическое отклонение ζв :