Вопрос 1.7

1)Момент силы — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. Направление момента силы определяется по правилу правой руки.

Напоминание

2 )Плечо силы - кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы

С другой стороны, сила, действующая на тело, геометрически означает выражение  . На изображении вы видите силу  , приложенную в точке Р. Когда тело поворачивается на малый угол  , то естественно, что произведенная при этом работа равна составляющей в направлении перемещения, умноженной на величину перемещения. Иначе говоря, работает только тангенциальная составляющая силы, которая умножается на расстояние  . Поэтому момент равен тангенциальной составляющей силы (перпендикулярной к радиусу), умноженной на радиус.

Если главная ось совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

( I_z – главный момент инерции тела)

3)Момент инерции тел – физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси

m_i — масса i-й точки,

r_i — расстояние от i-й точки до оси.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

М оменты инерции различных фигур

4)Теорема Штейнера -  момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями^[1]:

где m — полная масса тела.

5) Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

   ,                                                                                                       

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение  и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила  . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где  ,  поэтому

,                                                                                                  

где m_i – масса i-й точки;  – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

,                                                                                              

где  – момент силы – это произведение силы   на ее плечо  .

6) Условия равномерного и равноускоренного вращения твердого тела

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора  , направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Направление  совпадает с направлением  , когда тело вращается ускоренно и (рис.14,а), противоположно  при замедленном вращении (рис.14,б).

Если угловая скорость тела остается во все время движения по­стоянной ( =const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы  имеем  .

Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол  , и беря интегралы слева от  до  , а справа от 0 до t, получим окончательно

.

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным  , то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол  , а угловая скорость  ( - начальная угловая скорость).

Из формулы  имеем  . Интегрируя левую часть в пределах от  до  , а правую - в пределах от 0 до t, найдем  ,

или  .

Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения

.

Если величины  и  имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.