2.8.2 Принцип относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца

В середине ХIХ в. были разработаны методы, позволившие достаточно точно измерить скорость света. Оказалось, что в вакууме она составляет с = 3  10⁸ м/с. Возникает вопрос, к какой системе отсчета относится данное значение скорости? Ведь говорить о скорости без указания системы отсчета бессмысленно. Из классического закона сложения скоростей следует, что в разных системах отсчета скорость света должна быть различной. Поэтому измеренное значение скорости света должно относиться лишь к одной какой-то системе отсчета, например, связанной с источником света.

Первый опыт по измерению скорости света в движущейся системе отсчета был поставлен Майкельсоном в 1881 г. Затем аналогичные эксперименты проводились другими учеными, причем точность измерений все время возрастала. Все эти опыты дали отрицательный результат. Оказалось, что во всех инерциальных системах отсчета, независимо от величины и направления относительной их скорости движения, скорость света (в вакууме) одинакова и равна с = 3 10⁸ м/с.

Этот результат показывает, что классический закон сложения скоростей имеет ограниченную область применения. Он, в частности, непригоден для описания явлений, связанных с распространением света. Но классический закон сложения скоростей является следствием из преобразований Галилея, следовательно, и они имеют ограниченную область применения.

Итак, преобразования Галилея оказались в противоречии с экспериментальным результатом – постоянства скорости света в инерциальных системах отсчета.

Приблизительно в это же время (в конце ХIХ в.) оказалось также, что преобразования Галилея не согласуются и с некоторыми теоретическими результатами. В это время Максвеллом была создана теория электромагнитного поля, написаны уравнения электродинамики (уравнения Максвелла). Оказалось, что если преобразовать эти уравнения с помощью преобразований Галилея, то эти уравнения изменяются.

Анализ сложившейся ситуации привел Эйнштейна к пересмотру исходных положений классической физики, прежде всего представлений о свойствах пространства и времени. Эйнштейн обратил внимание на то, что представления о неизменности размеров тел и промежутков времени в разных системах отсчета возникли в результате изучения движения тел с малыми скоростями. Поэтому их экстраполяция в область больших скоростей ничем не оправдана. Только опыт может дать ответ на вопрос, каковы их истинные свойства. В результате в 1905 г. Эйнштейном была создана специальная теория относительности, которая включает классическую механику Ньютона и преобразования Галилея, как частный случай движения тел со скоростями малыми по сравнению со скоростью света. Теория относительности правильно описывает движение тел как с малыми, так и с большими скоростями по сравнению со скоростью света.

Эйнштейн сформулировал принцип относительности, носящий его имя, и в качестве исходной позиции принял два постулата, в пользу которых говорит весь экспериментальный материал.

Постулаты Эйнштейна формулируются так:

1. Никакими опытами (а не только механическими, как в принципе относительности Галилея), выполненными в любой инерциальной системе, нельзя решить, двигается эта система или покоится. Все инерциальные системы эквивалентны и законы природы не изменяются (инвариантны) при переходе из одной инерциальной системы в другую.

2. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника света.

Первый постулат похож по форме на классический принцип относительности Галилея. Но в классическом принципе относительности речь шла только о законах механики, Эйнштейн же распространил этот принцип на все без исключения физические явления. Кроме того, в классической физике требовалась инвариантность законов относительно преобразований Галилея, а в теории относительности Эйнштейна считается, что все законы должны быть инвариантны относительно преобразований, в которые преобразования Галилея должны входить как частный случай движения тел с малыми скоростями.

Второй постулат просто констатирует экспериментальный факт постоянства скорости света во всех инерциальных системах координат и независимость скорости света от движения источника.

Как и при выводе преобразований Галилея, рассмотрим (рис.50) две инерциальных системы отсчета – система и система . Будем считать, что система условно неподвижна, а система движется равномерно со скоростью вдоль оси x. Конечно, можно было считать, что, наоборот, система неподвижна, а система движется, но это ничего не меняет в дальнейших выводах. Допустим, что в начальный момент времени системы отсчета совпадали и в этот начальный момент времени в начале их систем координат начал излучать свет некоторый источник. Тогда за время в системе фронт световой волны переместится в точку

, (2.8.10)

а в системе в точку

. (2.8.11)

Скорость света в обеих системах отсчета одинакова, но время отсчитывается по своим часам.

Будем искать необходимые преобразования с учетом написанных соотношений и по форме похожими на преобразования Галилея. Для этого введем в преобразования Галилея некоторый коэффициент , зависящий от скорости:

; (2.8.12)

. (2.8.13)

Коэффициент должен при стремлении скорости к нулю стремиться к единице, что обеспечит переход искомых преобразований в преобразования Галилея при малых скоростях движения тел.

Обратим внимание на то, что коэффициенты должны быть одинаковыми как для прямого, так и для обратного преобразования, что обеспечивает равноправность систем и . Подставляя соотношения (2.8.10) и (2.8.11) в (2.8.12) и (2.8.13) и перемножая левые и правые части полученных выражений, получим координаты x. Откуда после сокращений легко получить

. (2.8.14)

При скорости , стремящейся к нулю, коэффициент стремится к единице, т.е. при малых скоростях будут выполняться преобразования Галилея.

С другой стороны, при выводе выражения для были использованы постулаты Эйнштейна, что автоматически обеспечивает справедливость преобразований при скоростях, близких и даже равных скорости света. Впервые эти преобразования получил Лоренц и они носят его имя.

Сравним преобразования Галилея и Лоренца:

Преобразования Галилея		Преобразования Лоренца
Прямые	Обратные	Прямые	Обратные

Преобразование времени в теории относительности можно получить, если воспользоваться формулами для координат и прямых и обратных преобразований Лоренца. Действительно, если выражение обратного преобразования подставить в формулу прямого преобразования, то легко получить

(2.8.15)

и аналогично для обратного преобразования

. (2.8.16)

Из сравнения этих формул видно, что при << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Таким образом, еще раз отметим, что при малых скоростях теория относительности Эйнштейна совпадает с классической теорией. Т.е. законы классической физики входят в теорию относительности как предельный частный случай при << c.

Скорости, при которых следует пользоваться теорией относительности, называются релятивистскими скоростями, а механика, изучающая движение тел с такими скоростями, называется релятивистской механикой.

В теории относительности такие абсолютные понятия с точки зрения классической механики как длина, время, масса становятся относительными.

Одной из абсолютных величин, не зависящих от системы отсчета, в теории относительности является скорость света в вакууме. Другой абсолютной величиной является так называемый интервал S₁₂ между событиями 1 и 2, квадрат которого определяется как

, (2.8.17)

где t₁₂ – промежуток времени между событиями; l₁₂ – расстояние между двумя точками, в которых происходят события:

( ). (2.8.18)

В инвариантности интервала можно легко убедиться, воспользовавшись преобразованиями Лоренца и вычислив его непосредственно в системах отсчета и .