Основные законы гидродинамики идеальной жидкости

Состояние движения идеальной жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости. Совокупность векторов скорости, заданных во всех точках пространства, где движется жидкость, образует так называемое поле скоростей. Для графического изображения всего поля скоростей проведем линии так, чтобы касательные к ним совпадали в каждой точке с направлением вектора скорости (рис. 42), эти линии называются линиями тока. При таком построении линий тока в тех местах пространства, где линии тока гуще, там скорость жидкости больше и, наоборот, где густота линий тока меньше, там и скорость жидкости меньше.

В общем случае величина и направление вектора скорости в каждой точке пространства могут меняться со временем, соответственно меняется и картина линий тока.

Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то движение жидкости называется установившимся, или стационарным. Картина линий тока при стационарном течении не изменяется, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть движущейся жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 43). Частицы жидкости при движении не пересекают поверхности трубки тока, так как их скорости направлены по касательным к поверхности трубки тока.

Теорема о неразрывности струи. Рассматривая какую-либо трубку тока (например, рис. 43) с указанными двумя сечениями, перпендикулярными скорости течения жидкости, можно допустить, что в сечении величина скорости жидкости равна ₁, а в сечении величина скорости равна ₂. Если считать, что жидкость не подвержена разрывам и несжимаема, то количество жидкости, проходящее через оба сечения за малый промежуток времени , должно быть одинаковым. Следовательно:

. (2.7.8)

Рассмотренные сечения произвольны, и поэтому для любого сечения конкретной трубки тока имеем соотношение:

. (2.7.9)

Полученный результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи. Из теоремы о неразрывности струи следует, что при изменении сечения меняется скорость жидкости, т.е. частицы жидкости должны двигаться с ускорением. Это ускорение вызывается изменением давления вдоль оси трубки тока, т.е. давление вдоль оси трубки тока в общем случае изменяется. Теорема о неразрывности струи справедлива также и для нестационарного потока жидкости.

Уравнение Бернулли. Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис. 44). Рассмотрим сечения и , перпендикулярные линиям тока. На эти сечения действуют силы

и , (2.7.10)

где и – давления в соответствующих сечениях. Эти силы за малый промежуток времени вызовут перемещение жидкости, которое в сечении будет равно , а в сечении будет равно . Работы сил, вызвавших эти перемещения, соответственно

;

, (2.7.11)

где – угол между направлением силы и направлением скорости ; – угол между направлением силы и направлением скорости .

Результирующая работа будет равна: или после подстановки выражений (2.7.10) получим:

. (2.7.12)

Так как жидкость несжимаема, то – объему жидкости в любом из заштрихованных участков трубки тока, поэтому .

Работа сил затрачивается на изменение запасов кинетических и потенциальных энергий, заштрихованных на рисунке участков жидкости, следовательно

. (2.7.13)

Сокращая на и перенося слагаемые с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим:

. (2.7.14)

Сечения и были взяты совершенно произвольно. Поэтому и в любом сечении выражение будет таким же.

Полученный результат формулируется следующим образом: в стационарно текущей жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

. (2.7.15)

Последнее соотношение называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли получено для идеальной жидкости, т.е. для жидкости, в которой отсутствует внутреннее трение. Это же уравнение на практике часто используют для анализа движения жидкостей с малой вязкостью, где оно выполняется с достаточной точностью.

Рассмотрим пример движения идеальной жидкости (или жидкости с весьма малой вязкостью) по горизонтально расположенному трубопроводу. В этом случае и уравнение (2.7.14) сводится к соотношению

. (2.7.16)

Откуда ясно, что в тех сечениях трубопровода, где скорость течения жидкости больше, давление меньше. Уменьшение давления в местах трубопровода, где скорость потока жидкости достаточно велика, положено в основу устройства и работы водоструйного насоса (рис. 45).

Струя воды подается в трубопровод, конец которого открывается в атмосферу, так что на выходе из трубопровода давление равно атмосферному. В трубопроводе имеется сужение, расположенное вблизи выхода из трубопровода. По сужению вода идет с большой скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же пониженное давление устанавливается и в камере, охватывающей трубопровод в месте сужения. К камере присоединяют откачиваемый объем. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и выбрасывается в атмосферу. С помощью водоструйного насоса можно откачать воздух (или какой-либо другой газ) до давления примерно 100 мм.рт.ст.

Измерение давления в текущей жидкости. Поместим в движущуюся жидкость изогнутую трубку с отверстием, обращенным навстречу потоку (рис. 46). Такая трубка называется трубкой Пито. Для линии тока жидкости, которая упирается своим концом во входное отверстие трубки, скорость непосредственно перед отверстием равна нулю. Поэтому, согласно уравнению Бернулли, манометр, соединенный с трубкой Пито, покажет давление

,

где – скорость потока жидкости вдалеке от трубки Пито.

Величину называют динамическим давлением. Величину – называют гидростатическим давлением. Величину – называют полным давлением.

Следовательно, с помощью трубки Пито, можно измерять полное давление, складывающееся из гидростатического и динамического давлений.

Рассмотрим теперь изогнутую трубку с боковым отверстием (рис. 47). Такую трубку называют трубкой Прандтля. Скорость движения жидкости вблизи отверстия и гидростатическое давление такие же, как и во всем потоке. Поэтому манометр, присоединенный к трубке Прандтля, покажет гидростатическое давление в жидкости р.

Рассмотрим теперь прибор, называемый трубкой Пито-Прандтля (рис. 48). В этом приборе совмещены трубка Пито и трубка Прандтля. Выходные отверстия прибора подсоединяются к разным коленам дифференциального манометра (такой манометр измеряет разность давлений). Показания манометра будут непосредственно давать динамическое давление в потоке жидкости. Проградуировав манометр в значениях скорости , можно получить прибор для измерения скорости жидкости.