Распределение Максвела

Или распределение молекул газа по скоростям. Состояние газа равновесное. Вводится воображаемое пространство скоростей (v-пространство) (рис. 58).

Каждой молекуле будут соответствовать свои компоненты v. Значит, каждая молекула в пространстве скоростей будет иметь точку (М-точка).

Так как газ в равновесии, то все направления движения равноправны. Расположение М-точек сферически симметрично. Далее отсюда следует, что плотность М-точек (число в единице объема v-пространства (dv_x, dv_y, dv_z)) зависит от расстояния от начала координат, т.е. от .

Если увеличить число молекул, то и плотность возрастет пропорционально N, т.е. плотность точек пропорциональна N и является функцией .

. (3.1.48)

Число молекул компоненты скоростей которых лежат в пределах , то есть в объеме пространства скоростей будет равно:

, (3.1.49)

Их можно узнать, если известна функция .

На рис. (58) число молекул модуль, скорости которых лежат в пределах от v до v + dv, будет равно

, (3.1.50)

где –  – объем шарового слоя,  – плотности М-точек.

. (3.1.51)

 –  вероятность того, что модули скорости молекулы лежат в интервале v  v+dv.

. (3.1.52)

 – функция распределения вероятности значения v.

Эту функцию теоретически получил выдающийся английский физик Джеймс Клерк Максвелл (1831 - 1879) – создатель классической электродинамики.

Эта функция имеет вид:

. (3.1.53)

m – масса молекулы. Т – термодинамическая температура, k – константа Больцмана.

Коэффициент А определяется из условия:

. (3.1.54)

не может быть , а имеет предел, но т.к. F(v) ~ exр, то уже при конкретном значении она равна 0 и не вносит существенной ошибки.

Значение .

Окончательно для F(v):

, (3.1.55)

где F(v) – функция распределения Максвелла; – кинетическая энергия молекулы соответствующая данной скорости; kT – среднее значение кинетической энергии молекул (по всем N).

Значение v_вер находится из условия max функции F(v) т.е. .

. (3.1.56)

. (3.1.57)

Учитывая, что получим формулу для наиболее вероятной скорости молекул газа:

. (3.1.58)

N  число молекул, содержащихся в данной системе;   плотность вещества.

Средняя квадратичная скорости молекул газа:

. (3.1.59)

Средняя арифметическая скорость молекул газа

. (3.1.60)

Количество молекул, скорости которых заключены в пределах от v до v + dv.

dN_v = NdP_v = NF(v)dv =  . (3.1.61)

Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах.

На рис. 59 представлены распределения для двух значений температуры (m₁>m₂, T₁<T₂).

Согласно формулам (3.1.58-61) v_вер: <v>: v_ср.кв.=1:1,13:1,22. 

Из этого соотношения видно <v> на 13% больше v_вер; v_ср.кв> v_вер на 22%.

Если: учесть v² =  , v =  , то получим распределение молекул по энергиям.

. (3.1.62)