Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теоремы умножения – являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Теорема: Если событие А может произойти при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂,…, Н_n, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события А:

(13)

Формула (13) называется формулой полной вероятности.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

или (14)

Формула (14) называется формулой Байеса.

Пример:

На первом заводе на каждые 100 изделий производится в среднем 90 стандартных изделий. На втором заводе на каждые 100 изделий – 95 стандартных и на третьем – 85 стандартных изделий. Продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех изделий, поставляемых в магазин. Некто зашел в магазин и приобрел стандартное изделие. Найти вероятность того, что это изделие изготовлено на первом заводе.

Решение:

Событие А – приобретено стандартное изделие

Сформулируем гипотезы, при наступлении которых может произойти событие А:

Событие Н₁ –изделие изготовлено на первом заводе

Событие Н₂ –изделие изготовлено на втором заводе

Событие Н₃ –изделие изготовлено на третьем заводе

По условию задачи , ,

Р(Н₁)+ Р(Н₂)+ Р(Н₃)=1, следовательно, гипотезы образуют полную группу

Для отыскания вероятности того, что приобретенное стандартное изделие изготовлено на первом заводе, воспользуемся формулой Байеса

Условные вероятности ( – это вероятность приобретения стандартного изделия, выпущенного i-тым заводом)

, , .

По формуле полной вероятности:

Р(А)=0,5∙0,9+0,3∙0,95+0,2∙0,85=0,905

Тогда искомая вероятность

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы

Задача 1. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными?

Задача 2. В двух партиях k₁ и k₂ % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Задача 3. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет m_i % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода n_i % первосортных. Определить вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено j-м заводом.

Исходные данные к заданиям

№ варианта	Задача 1.			Задача 2.		Задача 3.
	n	k	m	k1	k2	m1	m2	m3	n1	n2	n3	j
1	20	6	2	71	47	50	30	20	70	80	90	1
2	18	8	3	78	37	50	30	20	70	80	90	2
3	16	6	2	87	31	50	30	20	70	80	90	3
4	14	5	3	72	46	60	20	20	70	80	90	1
5	12	4	3	79	38	60	20	20	70	80	90	2
6	10	4	2	86	32	60	20	20	70	80	90	3
7	18	6	3	73	45	40	30	30	80	80	90	1
8	22	8	2	81	37	40	30	30	80	80	90	2
9	24	10	3	85	33	40	30	30	80	80	90	3
10	26	6	2	74	44	40	20	40	90	90	80	1
11	30	8	3	82	36	40	20	40	90	90	80	2
12	25	7	2	84	34	40	20	40	90	90	80	3
13	23	6	3	75	43	70	20	10	70	80	90	1
14	24	8	2	83	35	70	20	10	70	80	90	2
15	30	9	3	76	42	70	20	10	70	80	90	3
16	15	5	2	77	41	60	10	30	80	90	80	1
17	17	6	3	47	71	60	10	30	80	90	80	2
18	18	8	3	39	78	60	10	30	80	90	80	3
19	20	7	2	31	87	50	20	30	90	80	90	1
20	22	6	3	72	46	50	20	30	90	80	90	2
21	26	8	2	38	79	50	20	30	90	80	90	3
22	28	7	3	32	86	30	30	40	70	70	80	1
23	30	10	2	73	45	30	30	40	70	70	80	2
24	26	6	2	81	37	30	30	40	70	70	80	3
25	28	10	3	33	85	20	40	40	90	70	80	1
26	14	5	2	44	74	20	40	40	90	70	80	2
27	18	5	3	36	82	20	40	40	90	70	80	3
28	16	4	2	84	34	10	50	40	70	90	80	1
29	17	3	2	75	43	10	50	40	70	90	80	2
30	19	6	3	83	35	10	50	40	70	90	80	3