Примеры выполнения задания № 7

1^. Используя разложение функций в ряд Маклорена: 1) найти приближенное значение определенного интеграла по первым четырем отличным от нуля членам его разложения в степенной ряд; 2) найти четыре первых отличных от нуля члена степенного ряда, определяющего частное решение y = y(x) дифференциального уравнения y  = y + e ^xy, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.

Решение.

1) Находим приближенное значение определенного интеграла .

Подынтегральная функция f(x) = не определена в точке x = 0. Чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования x  [0; 0,4], доопределяем функцию f(x) в точке x = 0 значением ее предела (при нахождении предела используем эквивалентную бесконечную малую логарифмической функции) ~ = 0.

Выполняем разложение функции ln(1 – 2x²) в ряд Маклорена. Для этого заменяем в выше приведенном разложении функции ln(1 – x) переменную х на 2x²:

ln(1 – 2x²) = – (2x² + + + + … +· + …).

Подынтегральная функция принимает вид степенного ряда:

f(x) = = – ( ·x + ·x³ + ·x⁵ + ·x⁷ + … +· ·x^{2n – 1} + …).

Интегрируем полученный степенной ряд почленно:

= – · – · – · – · – … – · – … = (– ·x² – ·x⁴ – ·x⁶ – ·x⁸ – … – ·x²ⁿ – …) = – ·0,4² – ·0,4⁴ – ·0,4⁶ – ·0,4⁸ – … – ·0,4²ⁿ –…

Оставляем четыре первых отличных от нуля члена степенного ряда, определяющего значение интеграла:

 – ·0,4² – ·0,4⁴ – ·0,4⁶ – ·0,4⁸  – 0,053333 – 0,004267 – 0,000607 – 0,000109 = – 0,058316.

Ответ:  – 0,058316.

2) Находим первые четыре члена разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения y  = y + e ^xy, удовлетворяющего начальному условию y(0) = 1.

Поскольку в начальном условии x₀ = 0, то будем искать решение в виде ряда Маклорена: у(х) = у(0) + у (0)·х + ·х² + ·х³ + …

Из начального условия определяем: у(0) = 1, из исходного уравнения: у (0) = y(0) + e^0·y(0) = 1 + 1 = 2. Последовательно дифференцируя исходное уравнение по х, находим:

у (х) = y  + е ^xу·(у + xу ),

у (х) = y  + е ^xу·(у + xу )² + е ^xу·(2у  + x y ).

Откуда получаем:

у (0) = y (0) + е^0·у(0)·(у(0) + 0·у (0)) = 2 + 1 = 3.

у (0) = y (0) + е^0·у(0)·(у(0) + 0·у (0))² + е^0·у(0)·(2у (0) + 0· y (0)) = 8.

Следовательно, четырьмя первыми отличными от нуля членами степенного ряда искомого частного решения являются: у(х) = 1 + 2·х + ·х² + ·х³ + … = 1 + 2х + 1,5х² + х³ + …

Ответ: у(х) = 1 + 2х + 1,5х² + х³ + …

2^. Используя разложение функций в ряд Маклорена: 1) найти приближенное значение определенного интеграла по первым четырем отличным от нуля членам его разложения в степенной ряд; 2) найти четыре первых отличных от нуля члена степенного ряда, определяющего частное решение y = y(x) дифференциального уравнения y  = e ^y + 2·sin x, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 0.

Решение.

1) Находим приближенное значение определенного интеграла .

Выполняем разложение функции = (1 + x³)^{– 1/2} в ряд Маклорена. Для этого заменяем в выше приведенном разложении функции (1 + x)^a переменную х на x³ при a = – 1/2:

(1 + x³)^{– 1/2} = 1 – х³ – х⁶ – х⁹ + ….

Подынтегральная функция принимает вид степенного ряда:

f(x) = = x·(1 – ·x³ + ·x⁶ – ·x⁹ + …) = x – ·x⁴ + ·x⁷ – ·x¹⁰ + ….

Интегрируем полученный степенной ряд почленно:

= – · + · – · + … =

( ·x² – ·x⁵ + ·x⁸ – ·x¹¹ + …) = ·0,7² – ·0,7⁵ + ·0,7⁸ – ·0,7¹¹ + …

Т.о., получаем приближенное значение интеграла по четырем первым отличным от нуля членам степенного ряда:

 0,245 – 0,016807 + 0,002702 – 0,000562 = 0,230333.

Ответ:  0,230333.

2) Находим первые четыре члена разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения y  = e ^y + 2·sin x, удовлетворяющего начальному условию y(0) = 0.

Поскольку в начальном условии x₀ = 0, то будем искать решение в виде ряда Маклорена: у(х) = у(0) + у (0)·х + ·х² + ·х³ + ·х⁴ + …

Из начального условия определяем: у(0) = 0, из исходного уравнения: у (0) = e^·y(0) + y(0) = 1 + 0 = 1. Последовательно дифференцируя исходное уравнение по х, находим:

у (х) = е ^у·y  + 2·cos x,

у (х) = е ^у·(y )² + е ^у· y  – 2·sin x,

y^(IV)(x) = е ^у·(y )³ + 3·е ^у·y ·у + е ^у· y  – 2·cos x.

Откуда получаем:

у (0) = е ^у(0)·y (0) + 2·cos 0 = 1 + 2 = 3.

у (0) = е ^у(0)·(y (0))² + е ^у(0)·y (0) – 2·sin 0 = 1 + 3 = 4

y^(IV)(0) = е ^у(0)·(y (0))³ + 3·е ^у(0)·y (0)·y (0) + е ^у(0)·у (0) – 2·cos 0 = 1 + 9 + 4 – 2 = 12.

Следовательно, четырьмя первыми отличными от нуля членами степенного ряда искомого частного решения являются: у(х) = х + ·х² + ·х³ + ·x⁴ + … = х + 1,5х² + х³ + 0,5x⁴ + …

Ответ: у(х) = х + 1,5х² + х³ + 0,5x⁴ + …

3^. Используя разложение функций в ряд Маклорена: 1) найти приближенное значение определенного интеграла по первым четырем отличным от нуля членам его разложения в степенной ряд; 2) найти четыре первых отличных от нуля члена степенного ряда, определяющего частное решение y = y(x) дифференциального уравнения y  = y ² – cos 2x, удовлетворяющее начальному условию y(0) = – 3.

Решение.

1) Находим приближенное значение определенного интеграла .

Выполняем разложение функции arc tg в ряд Маклорена по степеням аргумента. Для этого заменяем в выше приведенном разложении функции arc tg x переменную х на :

arc tg = – + – + …

Подынтегральная функция принимает вид степенного ряда:

f(x) = = x – ·x² + ·x³ – ·x⁴ + ...

Интегрируем полученный степенной ряд почленно:

= – · + · – · – … =

( ·x² – ·x³ + ·x⁴ – ·x⁵ + …) = · – · + · – · – …

Т.о., получаем приближенное значение интеграла по четырем первым отличным от нуля членам степенного ряда:

 0,03125 – 0,001736 + 0,000195 – 0,000028 = 0,029681.

Ответ:  0,029681.

2) Находим первые четыре члена разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения y  = y ² – cos 2x, удовлетворяющего начальному условию y(0) = – 3.

Поскольку в начальном условии x₀ = 0, то будем искать решение в виде ряда Маклорена: у(х) = у(0) + у (0)·х + ·х² + ·х³ + …

Из начального условия определяем: у(0) = – 3, из исходного уравнения: у (0) = y(0)² – cos 0 = (– 3)² – 1 = 8. Последовательно дифференцируя исходное уравнение по х, находим:

у (х) = 2·y·y  + 2·sin 2x,

у (х) = 2·(y )² + 2·у·y  + 4·cos 2x.

Откуда получаем:

у (0) = 2·y(0)·y (0) + 2·sin 0 = 2·(– 3)·8 = – 48.

у (0) = 2·(y (0))² + 2·у(0)·y (0) + 4·cos 0 = 128 + 288 + 4 = 420.

Следовательно, четырьмя первыми отличными от нуля членами степенного ряда искомого частного решения являются: у(х) = – 3 + 8·х – 24·х² + 70·х³ + …

Ответ: у(х) = – 3 + 8·х – 24·х² + 70·х³ + …